Queremos encontrar todos os pontos onde ela é diferenciável. O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções de duas variáveis, uso de quocientes de polinômios e aplicação da definição de derivadas parciais e de diferenciabilidade.
Passo 2
Para todo ponto (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é não nulo. Assim, f(x,y) é quociente de funções polinomiais suaves, logo é diferenciável em todo ponto com (x,y)neq(0,0).
Passo 3
No ponto (0,0), calculamos as derivadas parciais pela definição:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00h=0,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto00k=0
Então a melhor linear aproximante (jacobiano) em (0,0) é L(h,k)=0cdot h+0cdot k=0.
Passo 4
Usamos a definição de diferenciabilidade em (0,0): é preciso mostrar que
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)raizh^2+k^2=0
Em coordenadas polares h=rcostheta, k=rsintheta, para (h,k)neq(0,0):