Determine o conjunto de todos os pontos nos quais a função dada é diferenciável.
f(x, y)=llx y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0).

Passo 1

Temos a função definida por
f(x,y)= x,y^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
Queremos encontrar todos os pontos onde ela é diferenciável. O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções de duas variáveis, uso de quocientes de polinômios e aplicação da definição de derivadas parciais e de diferenciabilidade.

Passo 2

Para todo ponto (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é não nulo. Assim, f(x,y) é quociente de funções polinomiais suaves, logo é diferenciável em todo ponto com (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0), calculamos as derivadas parciais pela definição:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00h=0,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto00k=0
Então a melhor linear aproximante (jacobiano) em (0,0) é L(h,k)=0cdot h+0cdot k=0.

Passo 4

Usamos a definição de diferenciabilidade em (0,0): é preciso mostrar que
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)raizh^2+k^2=0
Em coordenadas polares h=rcostheta, k=rsintheta, para (h,k)neq(0,0):
f(rcostheta,rsintheta)=rcostheta,(rsintheta)^3r^2=r^2costheta,sin^3theta
Logo,
|f(h,k)-0|raizh^2+k^2=r^2|costhetasin^3theta|r=r,|costhetasin^3theta|xrightarrowrto00
Isso mostra que f é diferenciável em (0,0).

Resposta

R^2

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