Determine a equação do plano tangente à superfície (elipsóide) de equação
no ponto
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede pra gente achar a equação do plano tangente à elipsóide
no ponto
.
Matéria envolvida: superfícies implícitas, derivadas parciais e o conceito de gradiente (que vai ser o vetor normal ao plano). O que a gente precisa:
Matéria envolvida: superfícies implícitas, derivadas parciais e o conceito de gradiente (que vai ser o vetor normal ao plano). O que a gente precisa:
- Escrever a função
cuja “fatia zero” é a nossa elipsóide. - Calcular as derivadas parciais
. - Avaliar esse gradiente no ponto dado.
- Usar a fórmula do plano tangente a uma superfície implícita:
Passo 2
Primeiro a gente define
Note que a elipsóide é o nível zero dessa função:
.
Teoria rápida: pra uma superfície dada por , o gradiente
é um vetor perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. Aí esse normal entra na fórmula do plano tangente.
Teoria rápida: pra uma superfície dada por
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora a gente avalia esse gradiente em
:
Logo
. Esse é o vetor normal ao plano tangente.
Passo 5
Aplicando a fórmula do plano tangente em
:
Resposta
A equação do plano tangente é