Determine a equação do plano tangente à superfície (elipsóide) de equação
x^24+y^29+z^2=1
no ponto (0,0,1).

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede pra gente achar a equação do plano tangente à elipsóide
x^24+y^29+z^2=1
no ponto (0,0,1).
Matéria envolvida: superfícies implícitas, derivadas parciais e o conceito de gradiente (que vai ser o vetor normal ao plano). O que a gente precisa:
  1. Escrever a função f(x,y,z) cuja “fatia zero” é a nossa elipsóide.
  2. Calcular as derivadas parciais partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial z.
  3. Avaliar esse gradiente no ponto dado.
  4. Usar a fórmula do plano tangente a uma superfície implícita:
fx(P0),(x-x0)+fy(P0),(y-y0)+fz(P0),(z-z0)=0

Passo 2

Primeiro a gente define
f(x,y,z)=x^24+y^29+z^2-1
Note que a elipsóide é o nível zero dessa função: f(x,y,z)=0.
Teoria rápida: pra uma superfície dada por f(x,y,z)=0, o gradiente
nabla f=(fx,fy,fz) é um vetor perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. Aí esse normal entra na fórmula do plano tangente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f:
fx(x,y,z)=partialpartial xl(x^24r)=2x4=x2,
fy(x,y,z)=partialpartial yl(y^29r)=2y9,
fz(x,y,z)=partialpartial zl(z^2r)=2z

Passo 4

Agora a gente avalia esse gradiente em (0,0,1):
fx(0,0,1)=02=0, fy(0,0,1)=2cdot 09=0, fz(0,0,1)=2cdot 1=2
Logo nabla f(0,0,1)=(0,0,2). Esse é o vetor normal ao plano tangente.

Passo 5

Aplicando a fórmula do plano tangente em (x0,y0,z0)=(0,0,1):
0,(x-0)+0,(y-0)+2,(z-1)=0 Longrightarrow 2(z-1)=0 Longrightarrow z-1=0

Resposta

A equação do plano tangente é
boxedz=1

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