Sejam, em relação a um sistema ortogonal de coordenadas, A=(-1,0,2), B=(1,1,1) e C=(1,0,1). Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo, que é retângulo e não é isósceles.
Passo 1
O enunciado dá os pontos A=(-1,0,2), B=(1,1,1) e C=(1,0,1) em \mathbb{R}^3. O conteúdo é Geometria Analítica no espaço: vamos usar vetores para (i) mostrar que não são colineares (logo formam triângulo), (ii) calcular produto escalar para ver perpendicularidade (triângulo retângulo) e (iii) comparar comprimentos para verificar que não é isósceles.
Se fossem colineares existiria k tal que (2,1,-1)=k(2,0,-1), mas isso exigiria 1=k\cdot0, impossível. Logo A,B,C não são colineares e determinam um triângulo.
Passo 3
Para verificar retângulo, uso o vértice C e calculo
Como 6, 5 e 1 são todos diferentes, \|\overrightarrow{AB}\|, \|\overrightarrow{AC}\| e \|\overrightarrow{BC}\| são distintos, logo o triângulo não é isósceles.
Resposta
Os pontos A, B e C formam um triângulo que é retângulo em C e não é isósceles.