Sejam, em relação a um sistema ortogonal de coordenadas, A=(-1,0,2), B=(1,1,1) e C=(1,0,1). Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo, que é retângulo e não é isósceles.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(-1,0,2), B=(1,1,1) e C=(1,0,1) em \mathbb{R}^3. O conteúdo é Geometria Analítica no espaço: vamos usar vetores para (i) mostrar que não são colineares (logo formam triângulo), (ii) calcular produto escalar para ver perpendicularidade (triângulo retângulo) e (iii) comparar comprimentos para verificar que não é isósceles.

Passo 2

Para ver que não são colineares, calculo
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-(-1),\,1-0,\,1-2)=(2,1,-1),
\overrightarrow{AC}=C-A=(1-(-1),\,0-0,\,1-2)=(2,0,-1).
Se fossem colineares existiria k tal que (2,1,-1)=k(2,0,-1), mas isso exigiria 1=k\cdot0, impossível. Logo A,B,C não são colineares e determinam um triângulo.

Passo 3

Para verificar retângulo, uso o vértice C e calculo
\overrightarrow{CA}=A-C=(-2,0,1), \quad \overrightarrow{CB}=B-C=(0,1,0).
O produto escalar é
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-2)\cdot0+0\cdot1+1\cdot0=0,
portanto o ângulo em C é reto e o triângulo é retângulo em C.

Passo 4

Agora calculo os quadrados dos comprimentos dos lados:
\|\overrightarrow{AB}\|^2=2^2+1^2+(-1)^2=6, \quad \|\overrightarrow{AC}\|^2=2^2+0^2+(-1)^2=5, \quad \|\overrightarrow{BC}\|^2=0^2+(-1)^2+0^2=1.
Como 6, 5 e 1 são todos diferentes, \|\overrightarrow{AB}\|, \|\overrightarrow{AC}\| e \|\overrightarrow{BC}\| são distintos, logo o triângulo não é isósceles.

Resposta

Os pontos A, B e C formam um triângulo que é retângulo em C e não é isósceles.

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