Determine a equação da hipérbole que
(b) tem focos em (2,0) e (4,0) e excentricidade 2 / \sqrt{3}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da hipérbole que tem focos em (2,0) e (4,0) e excentricidade \dfrac{2}{\sqrt{3}}.
Informações dadas:
  • Foco 1: (2,0).
  • Foco 2: (4,0).
  • Excentricidade: e=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
O que preciso encontrar: a equação cartesiana da hipérbole (na forma padrão centrada em algum ponto (h,k), ou equivalente simplificada).

Passo 2

Encontremos o centro da hipérbole. O centro de uma hipérbole com focos dados é o ponto médio entre os focos.
A fórmula do ponto médio entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).
Aplicando aos focos (2,0) e (4,0):
\left(\frac{2+4}{2},\frac{0+0}{2}\right) = (3,0).
Logo o centro é (3,0).

Passo 3

Calculemos c, a distância do centro a cada foco. Para hipérbolas com eixos alinhados aos eixos coordenados, os focos estão em (h\pm c,k) quando o eixo transverso é horizontal.
Aqui um foco está em x=2 e o centro em x=3, então
c = |2-3| = 1.
(Confirmação: também |4-3|=1.)

Passo 4

Lembremos a definição de excentricidade e para hipérbolas: para uma hipérbole com semi-eixo transverso a e distância focal c, vale
e=\frac{c}{a}.
Essa relação define a a partir de c e e:
a=\frac{c}{e}.
Substituindo c=1 e e=\dfrac{2}{\sqrt{3}}:
a = \frac{1}{2/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Calculemos a^2:
a^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}.

Passo 5

Para uma hipérbole com eixo transverso horizontal, há a relação entre a, b e c:
c^2 = a^2 + b^2.
Isto vem da geometria da definição padrão da hipérbole \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 cujo focos ficam em (\pm c,0) com c^2=a^2+b^2.
Usando c^2=1^2=1 e a^2=\dfrac{3}{4}, obtemos b^2:
b^2 = c^2 - a^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.
Assim b=\dfrac{1}{2} (só para referência; o que entra na equação é b^2).

Passo 6

Escrevemos a equação padrão da hipérbole centrada em (h,k)=(3,0) com eixo transverso horizontal:
\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1.
Substituindo h=3, k=0, a^2=\dfrac{3}{4} e b^2=\dfrac{1}{4}, obtemos a forma direta:
\frac{(x-3)^2}{3/4} - \frac{y^2}{1/4} = 1.

Passo 7

Podemos simplificar essa expressão para evitar frações no denominador. Dividindo por \dfrac{3}{4} equivale a multiplicar por \dfrac{4}{3}; dividir por \dfrac{1}{4} equivale a multiplicar por 4. Portanto uma forma simplificada é
\frac{4}{3}(x-3)^2 - 4y^2 = 1.
Multiplicando ambos os lados por 3 para ter coeficientes inteiros:
4(x-3)^2 - 12y^2 = 3.
Ambas as formas são equivalentes; a forma padrão canonicamente usada é a com denominadores a^2 e b^2.

Resposta

\displaystyle \frac{(x-3)^2}{3/4} - \frac{y^2}{1/4} = 1

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