Determine a equação da hipérbole que
(b) tem focos em
e
e excentricidade
.
(b) tem focos em
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da hipérbole que tem focos em
e
e excentricidade
.
Informações dadas:
- Foco 1:
. - Foco 2:
. - Excentricidade:
.
O que preciso encontrar: a equação cartesiana da hipérbole (na forma padrão centrada em algum ponto
, ou equivalente simplificada).
Passo 2
Encontremos o centro da hipérbole. O centro de uma hipérbole com focos dados é o ponto médio entre os focos.
A fórmula do ponto médio entre
e
é
Aplicando aos focos
e
:
Logo o centro é
.
Passo 3
Calculemos
, a distância do centro a cada foco. Para hipérbolas com eixos alinhados aos eixos coordenados, os focos estão em
quando o eixo transverso é horizontal.
Aqui um foco está em
e o centro em
, então
(Confirmação: também
.)
Passo 4
Lembremos a definição de excentricidade
para hipérbolas: para uma hipérbole com semi-eixo transverso
e distância focal
, vale
Essa relação define
a partir de
e
:
Substituindo
e
:
Calculemos
:
Passo 5
Para uma hipérbole com eixo transverso horizontal, há a relação entre
,
e
:
Isto vem da geometria da definição padrão da hipérbole
cujo focos ficam em
com
.
Usando
e
, obtemos
:
Assim
(só para referência; o que entra na equação é
).
Passo 6
Escrevemos a equação padrão da hipérbole centrada em
com eixo transverso horizontal:
Substituindo
,
,
e
, obtemos a forma direta:
Passo 7
Podemos simplificar essa expressão para evitar frações no denominador. Dividindo por
equivale a multiplicar por
; dividir por
equivale a multiplicar por
. Portanto uma forma simplificada é
Multiplicando ambos os lados por
para ter coeficientes inteiros:
Ambas as formas são equivalentes; a forma padrão canonicamente usada é a com denominadores
e
.