Questão 1
Antes de iniciar o exercício: Substitua os números do seu RA correspondentes às letras \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} nos pontos:
\begin{gathered} A=(1,-1,1) \\\ B=(3,-2,4) \\\ C=(a, b, c) \\\ D=(a-2, b+1, c-3) \end{gathered}
Calcule:
(a) Verifique se é um paralelogramo o quadrilátero de vértices (não necessariamente consecutivos): A, B, Ce D.
(b) Determine a área do paralelogramo determinado pelos pontos A, B e D.
(c) Considere o ponto E=(a+2, b, c). Os 4 pontos: A, B, D e E são coplanares? Justifique utilizando os produtos vistos em aula.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei os símbolos \,a,b,c como parâmetros — você pode substituir pelos dígitos do seu RA antes de conferir os resultados).
Informações dadas:
  • A=(1,-1,1).
  • B=(3,-2,4).
  • C=(a,b,c).
  • D=(a-2,b+1,c-3).
  • Depois aparece E=(a+2,b,c).
O enunciado pede:
(a) Verificar se o quadrilátero de vértices (na ordem) A,B,C,D é um paralelogramo.
(b) Determinar a área do paralelogramo determinado pelos pontos A,B e D (ou seja, o paralelogramo com lados dados pelos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AD}).
(c) Verificar se os quatro pontos A,B,D,E são coplanares, justificando usando produtos vetoriais vistos em aula (isto é, usar produto vetorial e produto misto/triple product).

Passo 2

(a) Primeiro calculo os vetores relevantes para testar a condição de paralelogramo (para um quadrilátero com vértices A,B,C,D na ordem, uma maneira direta é verificar se \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} e \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}; se as pares de lados opostos forem vetorialmente iguais, é paralelogramo).
Calculemos:
\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,\,-2-(-1),\,4-1)=(2,\,-1,\,3).
\overrightarrow{DC}=C-D=(a-(a-2),\,b-(b+1),\,c-(c-3))=(2,\,-1,\,3).
Logo \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(2,-1,3).
Agora:
\overrightarrow{AD}=D-A=((a-2)-1,\,(b+1)-(-1),\,(c-3)-1)=(a-3,\,b+2,\,c-4).
\overrightarrow{BC}=C-B=(a-3,\,b+2,\,c-4).
Portanto \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(a-3,b+2,c-4).

Passo 3

(a) Interpretação final para (a): Como as duas igualdades vetoriais \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} e \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} são verdadeiras (para quaisquer a,b,c), os pares opostos de lados são iguais e paralelos. Isso é a definição de paralelogramo em termos de vetores: o quadrilátero A,B,C,D (na ordem dada) é um paralelogramo para quaisquer valores de a,b,c.
Breve explicação didática: dois lados opostos iguais como vetores significam que têm mesma direção, sentido e comprimento — portanto são paralelos e congruentes; se ambos os pares de lados opostos têm essa propriedade, o quadrilátero é um paralelogramo.

Passo 4

(b) Área do paralelogramo determinado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AD}.
Lembrete didático: a área de um paralelogramo gerado por dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^3 é \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|, ou seja, o comprimento do produto vetorial. O produto vetorial dá um vetor perpendicular ao plano contendo \mathbf{u} e \mathbf{v} cujo módulo é \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\sin\theta — justamente a área do paralelogramo.
Usamos \mathbf{u}=\overrightarrow{AB}=(2,-1,3) e \mathbf{v}=\overrightarrow{AD}=(a-3,b+2,c-4).
Calculemos o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}. Usando a fórmula
(u_1,u_2,u_3)\times(v_1,v_2,v_3)=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1),
temos:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}= \bigl((-1)(c-4)-3(b+2),\;3(a-3)-2(c-4),\;2(b+2)-(-1)(a-3)\bigr).
Agora simplifico componente a componente:
  • Primeira componente:
(-1)(c-4)-3(b+2)=-(c-4)-3b-6=-c+4-3b-6=-c-3b-2.
  • Segunda componente:
3(a-3)-2(c-4)=3a-9-2c+8=3a-2c-1.
  • Terceira componente:
2(b+2)-(-1)(a-3)=2b+4+a-3=a+2b+1.
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\bigl(-c-3b-2,\;3a-2c-1,\;a+2b+1\bigr).
A área do paralelogramo é o módulo desse vetor:
\text{Área}=\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\bigr\| =\sqrt{(-c-3b-2)^2+(3a-2c-1)^2+(a+2b+1)^2}.Á
Observação didática: se você substituir valores numéricos para a,b,c (por exemplo, dígitos do RA), basta computar cada componente e a raiz quadrada final para obter a área numérica. Em prova, muitas vezes a expressão simbólica já é aceita, a menos que peçam número.

Passo 5

(c) Verificação de coplanaridade de A,B,D,E com E=(a+2,b,c).
Lembrete didático: Quatro pontos A,B,D,E são coplanares se o volume do paralelepípedo formado por três vetores que partem de um mesmo ponto é zero. Uma forma prática é checar se o produto misto (produto escalar do produto vetorial por um terceiro vetor) é zero. Escolho o ponto A como vértice comum e uso \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}. Então calcule o produto misto
\bigl(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\bigr)\cdot\overrightarrow{AE}.
Se for zero, os vetores são coplanares e, por consequência, os pontos também.
Já calculamos \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\bigl(-c-3b-2,\;3a-2c-1,\;a+2b+1\bigr).
Calcule \overrightarrow{AE}=E-A=(a+2-1,\;b-(-1),\;c-1)=(a+1,\;b+1,\;c-1).
Agora o produto escalar:
\begin{aligned} S&=\bigl(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\bigr)\cdot\overrightarrow{AE}\\[4pt] &=(-c-3b-2)(a+1)+(3a-2c-1)(b+1)+(a+2b+1)(c-1). \end{aligned}
Faço a expansão termo a termo (mostrando o cancelamento para clareza):
\begin{aligned} (-c-3b-2)(a+1)&=-ac-3ab-2a-c-3b-2,\\[2pt] (3a-2c-1)(b+1)&=3ab-2bc-b+3a-2c-1,\\[2pt] (a+2b+1)(c-1)&=ac-a+2bc-2b+c-1. \end{aligned}
Somando tudo e agrupando os termos semelhantes observa-se que muitos termos se cancelam:
  • Os termos em ac: -ac+ac=0.
  • Os termos em ab: -3ab+3ab=0.
  • Os termos em bc: -2bc+2bc=0.
  • Os termos em a: -2a+3a-a=0.
Restam os termos lineares em b, em c e constantes:
S=-3b - b -2b \;+\; (-c-2c+c)\;+\;(-2-1-1).
Calculando:
S=-6b -2c -4 = -2(3b+c+2).
Conclusão: o produto misto é S=-2(3b+c+2). Para que os pontos A,B,D,E sejam coplanares é necessário e suficiente que S=0. Assim a condição de coplanaridade é
3b+c+2=0.
Interpretação final didática: em geral (para valores arbitrários de b e c) os quatro pontos não são coplanares; eles são coplanares exatamente quando c=-3b-2. Se, ao substituir os dígitos do seu RA para b e c, essa igualdade for satisfeita, então os pontos são coplanares; caso contrário, não são.]

Resposta

(a) Sim. O quadrilátero A,B,C,D é um paralelogramo, pois \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(2,-1,3) e \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(a-3,b+2,c-4).
(b) \displaystyle \text{Área}=\sqrt{(-c-3b-2)^2+(3a-2c-1)^2+(a+2b+1)^2}.Á
(c) Os pontos A,B,D,E são coplanares se, e somente se, \displaystyle 3b+c+2=0.

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