Determine a equação da hipérbole que
(a) tem assíntotas y=\sqrt{2} x e y=-\sqrt{2} x e passa pelo ponto ( 2,1 );

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes:
  • As assíntotas são y=\sqrt{2}\,x e y=-\sqrt{2}\,x.
  • A hipérbole passa pelo ponto (2,1).
A pergunta é: determinar a equação da hipérbole que satisfaz essas duas condições.

Passo 2

Primeira observação geométrica útil (muito prática na prova): as assíntotas de uma hipérbole se cruzam no centro da hipérbole. Aqui as assíntotas são retas que passam pela origem (pois são y=\pm\sqrt{2}\,x), então o centro da hipérbole é a origem (0,0). Isso nos permite usar as formas canônicas centradas na origem.

Passo 3

As duas formas canônicas de hipérbole centradas na origem são:
  • Hipérbole com eixo transverse horizontal:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
cujos ramos abrem para a direita e esquerda. Aqui a>0 é o semi-eixo transverse (no eixo x) e b>0 é o outro semi-eixo. As assíntotas dessa hipérbole são
y=\pm\frac{b}{a}\,x.
  • Hipérbole com eixo transverse vertical:
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,
cujos ramos abrem para cima e para baixo. As assíntotas são
y=\pm\frac{a}{b}\,x.
Em ambas as fórmulas, a e b são comprimentos (semidistâncias) e aparecem ao quadrado como a^{2} e b^{2}.

Passo 4

Como as assíntotas têm inclinações \pm\sqrt{2}, devemos ter ou \dfrac{b}{a}=\sqrt{2} (caso horizontal) ou \dfrac{a}{b}=\sqrt{2} (caso vertical). Vamos testar cada caso usando o ponto (2,1).
Começando pelo caso horizontal: impondo
\frac{b}{a}=\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad b=a\sqrt{2}.
Substituindo b na equação \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 obtemos
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{(a\sqrt{2})^{2}}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{2a^{2}}=1.
Agora usamos que o ponto (2,1) pertence à hipérbole: substituindo x=2 e y=1,
\frac{2^{2}}{a^{2}}-\frac{1^{2}}{2a^{2}}=1.
Calcule passo a passo o numerador comum:
\frac{4}{a^{2}}-\frac{1}{2a^{2}}=\frac{8}{2a^{2}}-\frac{1}{2a^{2}}=\frac{7}{2a^{2}}.
Logo
\frac{7}{2a^{2}}=1\quad\Rightarrow\quad a^{2}=\frac{7}{2}.
Como b=a\sqrt{2}, temos
b^{2}=2a^{2}=2\cdot\frac{7}{2}=7.
Assim a equação fica
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{7/2}-\frac{y^{2}}{7}=1.
Para simplificar, multiplica-se ambos os lados por 7:
\frac{7\cdot x^{2}}{7/2}-\frac{7\cdot y^{2}}{7}=7 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}-y^{2}=7.
Portanto a hipérbole candidata (caso horizontal) é
2x^{2}-y^{2}=7.

Passo 5

Convém verificar rapidamente o caso vertical para garantir que não existe outra hipérbole com eixos trocados. No caso vertical impomos \dfrac{a}{b}=\sqrt{2}, isto é a=b\sqrt{2}. A equação seria
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{y^{2}}{2b^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1.
Substituindo (2,1)
\frac{1^{2}}{2b^{2}}-\frac{2^{2}}{b^{2}}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2b^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1.
Colocando em denominador comum:
\frac{1-8}{2b^{2}}=\frac{-7}{2b^{2}}=1 \quad\Rightarrow\quad b^{2}=-\frac{7}{2},
o que é impossível (não existe b^{2} negativo para os parâmetros reais). Portanto o caso vertical não fornece solução real. Assim a única solução real é a encontrada no caso horizontal.

Passo 6

Checagem final das assíntotas da equação 2x^{2}-y^{2}=7. Dividindo por 7 obtemos
\frac{x^{2}}{7/2}-\frac{y^{2}}{7}=1,
logo a^{2}=7/2 e b^{2}=7. As assíntotas têm inclinação \pm\frac{b}{a}. Calculando:
\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7/2}}=\sqrt{2},
confirmando que as assíntotas são y=\pm\sqrt{2}\,x. Também o ponto (2,1) satisfaz a equação como forçamos.

Resposta

2x^{2}-y^{2}=7

Exercícios relacionados