Determine a equação da hipérbole que
(a) tem assíntotas
e
e passa pelo ponto ( 2,1 );
(a) tem assíntotas
Passo 1
O enunciado dá duas informações importantes:
- As assíntotas são
e . - A hipérbole passa pelo ponto
.
A pergunta é: determinar a equação da hipérbole que satisfaz essas duas condições.
Passo 2
Primeira observação geométrica útil (muito prática na prova): as assíntotas de uma hipérbole se cruzam no centro da hipérbole. Aqui as assíntotas são retas que passam pela origem (pois são
), então o centro da hipérbole é a origem
. Isso nos permite usar as formas canônicas centradas na origem.
Passo 3
As duas formas canônicas de hipérbole centradas na origem são:
- Hipérbole com eixo transverse horizontal:
cujos ramos abrem para a direita e esquerda. Aqui
é o semi-eixo transverse (no eixo
) e
é o outro semi-eixo. As assíntotas dessa hipérbole são
- Hipérbole com eixo transverse vertical:
cujos ramos abrem para cima e para baixo. As assíntotas são
Em ambas as fórmulas,
e
são comprimentos (semidistâncias) e aparecem ao quadrado como
e
.
Passo 4
Como as assíntotas têm inclinações
, devemos ter ou
(caso horizontal) ou
(caso vertical). Vamos testar cada caso usando o ponto
.
Começando pelo caso horizontal: impondo
Substituindo
na equação
obtemos
Agora usamos que o ponto
pertence à hipérbole: substituindo
e
,
Calcule passo a passo o numerador comum:
Logo
Como
, temos
Assim a equação fica
Para simplificar, multiplica-se ambos os lados por
:
Portanto a hipérbole candidata (caso horizontal) é
Passo 5
Convém verificar rapidamente o caso vertical para garantir que não existe outra hipérbole com eixos trocados. No caso vertical impomos
, isto é
. A equação seria
Substituindo
dá
Colocando em denominador comum:
o que é impossível (não existe
negativo para os parâmetros reais). Portanto o caso vertical não fornece solução real. Assim a única solução real é a encontrada no caso horizontal.
Passo 6
Checagem final das assíntotas da equação
. Dividindo por
obtemos
logo
e
. As assíntotas têm inclinação
. Calculando:
confirmando que as assíntotas são
. Também o ponto
satisfaz a equação como forçamos.