1. Determine a equação da hipérbole com centro na origem, um vértice no ponto V1(6,0) e tendo a reta 4 x-3 y=0 como uma das assíntotas.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole com centro na origem, vértice em V1(6,0) e tendo a reta 4x-3y=0 (isto é, y=tfrac43x) como assíntota. Vamos usar a forma canônica da hipérbole com eixo transverso horizontal e as relações entre a, b e as assíntotas.

Passo 2

Como um vértice está em (6,0) e o centro é a origem, o eixo transverso é horizontal e a forma canônica é
x^2a^2 - y^2b^2 = 1

Passo 3

O vértice (a,0) corresponde a (6,0), logo
a = 6, a^2 = 36

Passo 4

As assíntotas dessa hipérbole são dadas por
y = pm ba,x
Como uma delas é y=tfrac43x, temos ba=tfrac43. Substituindo a=6 resulta
b = 6cdot43 = 8, b^2 = 64

Passo 5

Substituindo a^2=36 e b^2=64 na forma canônica, obtemos
x^236 ;-;y^264 ;=;1

Resposta

x^236 - y^264 = 1

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