1. Se e é a excentricidade da hipérbole x^2a^2-y^2b^2=1, mostre que os raios focais de um ponto P0(x0, y0) da hipérbole têm comprimento |e x0 pm a|. Determine os comprimentos dos raios focais do ponto P0(6,5) sobre a hipérbole 5 x^2-4 y^2=80.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, na hipérbole
x^2a^2-y^2b^2=1,
que os comprimentos dos raios focais de um ponto P0(x0,y0) são
l|e x0pm ar|,
onde e é a excentricidade da hipérbole. Usaremos a definição de distância de P0 a cada foco e a relação
e^2=1+b^2a^2,
além da própria equação da hipérbole para eliminar y0^2.

Passo 2

Chamemos F1(a e,0) e F2(-a e,0) os focos. A distância de P0 a F1 é
P F1 =raizl(x0-a er)^2+y0^2 =raizx0^2-2a e,x0+a^2e^2+y0^2
Pela equação da hipérbole temos
y0^2 =b^2l(x0^2a^2-1r) =b^2a^2,x0^2-b^2,
portanto
x0^2+y0^2 =l(1+b^2a^2r)x0^2-b^2 =e^2x0^2-b^2
Substituindo em P F1^2:
P F1^2 =e^2x0^2-b^2-2a e,x0+a^2e^2 =e^2(x0^2+a^2)-b^2-2a e,x0
Mas b^2=a^2(e^2-1), logo
P F1^2 =e^2x0^2+e^2a^2-a^2(e^2-1)-2a e,x0 =e^2x0^2+a^2-2a e,x0 =(e,x0-a)^2

Passo 3

Da última igualdade vem
P F1=l|e,x0-ar|
Por simetria, a distância a F2 é
P F2=l|e,x0+ar|
Logo os raios focais são lvert e,x0pm arvert.

Passo 4

Para a hipérbole 5x^2-4y^2=80 dividimos por 80 e obtemos
x^216-y^220=1,
de onde a^2=16, b^2=20 e
e=raiz1+b^2a^2 =raiz1+2016 =raiz3616 =32
No ponto P0(6,5), temos e,x0=tfrac32cdot 6=9 e a=4, então os raios são
l|9-4r|=5 e l|9+4r|=13

Resposta

Os comprimentos dos raios focais em P0(6,5) são 5 e 13.

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