1^a) Responda se verdadeiro ou falso, justificando!
A distância do foco a diretriz da parábola de equação x^2-4 x-12 y-8=0 é 6;

Passo 1

O enunciado dá a parábola de equação
x^2 - 4x - 12y - 8 = 0
e pede para verificar se a distância do foco à diretriz é 6. Para isso, vamos reescrever a parábola na forma canônica
(x - h)^2 = 4p,(y - k)
e identificar o valor de p. A distância foco–diretriz de uma parábola nessa forma é 2p.

Passo 2

Começo completando o quadrado em x:
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
Substituindo em x^2 - 4x - 12y - 8 = 0 tenho
(x - 2)^2 - 4 - 12y - 8 = 0
logo
(x - 2)^2 = 12y + 12
e portanto
y + 1 = (x - 2)^212
Essa é a forma
(x - 2)^2 = 12,(y + 1) = 4cdot 3,(y - (-1)),
logo 4p = 12 e
p = 3

Passo 3

Na forma canônica temos h=2, k=-1 e p=3. O foco é
(h,,k+p) = (2,,-1+3) = (2,2)
e a diretriz é a reta
y = k - p = -1 - 3 = -4
A distância entre o ponto (2,2) e a reta y=-4 é
2 - (-4) = 6

Passo 4

Encontramos que a distância foco–diretriz é 6, exatamente o valor dado. Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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