Determine o centro, os vértices, os focos, as assíntotas e o comprimento dos eixos das hipérboles de cada um dos itens abaixo. Faça também um esboço das hipérboles.
(d) 9 x^{2}-16 y^{2}-18 x+8=0;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não resolvo nada ainda). A equação dada é
9x^{2}-16y^{2}-18x+8=0.
O enunciado pede:
  • Determinar o centro da hipérbole;
  • Determinar os vértices;
  • Determinar os focos;
  • Determinar as assíntotas;
  • Determinar o comprimento dos eixos (eixo real/transverso e eixo imaginário/conjugado);
  • Fazer um esboço da hipérbole.
Informações relevantes da equação que usarei depois:
  • Há termos quadráticos em x e y e um termo linear em x, então provavelmente a hipérbole está deslocada em x.
  • Não há termo em y isolado (linear), então o deslocamento vertical pode ser 0, mas isso será confirmado ao completar quadrados.

Passo 2

Colocar a equação na forma adequada: agrupar os termos em x e completar o quadrado. Começo reescrevendo a equação isolando os termos em x:
9x^{2}-18x-16y^{2}+8=0.
Fatorando 9 dos termos que envolvem x:
9\bigl(x^{2}-2x\bigr)-16y^{2}+8=0.
Agora completo o quadrado em x. Lembre que para completar o quadrado de x^{2}-2x acrescento e subtraio 1, porque (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1. Assim:
9\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)-16y^{2}+8=0.
Distribuindo 9 e somando constantes:
9(x-1)^{2}-9-16y^{2}+8=0 \quad\Rightarrow\quad 9(x-1)^{2}-16y^{2}-1=0.
Passando o -1 para o outro lado:
9(x-1)^{2}-16y^{2}=1.

Passo 3

Colocar na forma padrão da hipérbole. A forma padrão com eixo transverso horizontal é
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
onde (h,k) é o centro, a>0 e b>0. Divido a equação por 1 (já está com =1) e escrevo os denominadores explicitamente:
\frac{(x-1)^{2}}{\tfrac{1}{9}}-\frac{y^{2}}{\tfrac{1}{16}}=1.
Portanto:
a^{2}=\tfrac{1}{9},\qquad b^{2}=\tfrac{1}{16}.
Explicando as variáveis (para ficar bem claro):
  • (h,k) é o centro da hipérbole;
  • a é o semi-eixo transverso (distância do centro a cada vértice ao longo do eixo real);
  • b é o semi-eixo conjugado (distância do centro aos “co-vértices” imaginários no eixo conjugado);
  • para hipérboles horizontais, os vértices estão em (h\pm a,k);
  • os focos estão em (h\pm c,k), com c definido por c^{2}=a^{2}+b^{2};
  • as assíntotas têm equações y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h).
Calculo agora a e b:
a=\sqrt{\tfrac{1}{9}}=\tfrac{1}{3},\qquad b=\sqrt{\tfrac{1}{16}}=\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Determinar o centro. Pela forma obtida \dfrac{(x-1)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, o centro é
(h,k)=(1,0).
(Isto vem diretamente dos termos (x-1)^{2} e y^{2}.)

Passo 5

Determinar os vértices. Para hipérbole horizontal os vértices ficam em (h\pm a,k). Assim:
\text{Vértices: }\bigl(1\pm\tfrac{1}{3},\,0\bigr).é
Calculando as coordenadas explicitamente:
1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3},\qquad 1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
Logo os vértices são \bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr) e \bigl(\tfrac{2}{3},0\bigr).

Passo 6

Determinar os focos. Primeiro calculo c pela relação c^{2}=a^{2}+b^{2}. Substituindo:
c^{2}=\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{16}=\frac{16+9}{144}=\frac{25}{144}.
Portanto
c=\sqrt{\tfrac{25}{144}}=\tfrac{5}{12}.
Os focos ficam em (h\pm c,k), isto é:
\text{Focos: }\bigl(1\pm\tfrac{5}{12},\,0\bigr).
Calculando:
1+\tfrac{5}{12}=\tfrac{17}{12},\qquad 1-\tfrac{5}{12}=\tfrac{7}{12}.
Logo os focos são \bigl(\tfrac{17}{12},0\bigr) e \bigl(\tfrac{7}{12},0\bigr).

Passo 7

Determinar as assíntotas. Para hipérbole horizontal com centro (h,k) as assíntotas são
y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h).
Aqui \dfrac{b}{a}=\dfrac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{3}{4}. Como k=0 e h=1, as equações são
y=\pm\tfrac{3}{4}(x-1).
É comum escrever também de forma expandida:
y=\tfrac{3}{4}x-\tfrac{3}{4}\quad\text{e}\quad y=-\tfrac{3}{4}x+\tfrac{3}{4}.

Passo 8

Comprimento dos eixos. Explico: para hipérboles costuma-se chamar de comprimento do eixo transverso (real) o segmento que une os dois vértices: seu comprimento é 2a. O eixo conjugado (às vezes chamado eixo imaginário) tem comprimento 2b (segmento entre os co-vértices no eixo perpendicular).
Calculo:
\text{Eixo transverso (real): }2a=2\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
\text{Eixo conjugado (imaginário): }2b=2\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.á

Passo 9

Esboço da hipérbole (descrição e pontos principais para desenhar à mão). Instruções para desenhar:
  • Centro em \bigl(1,0\bigr).
  • Vértices em \bigl(\tfrac{2}{3},0\bigr) e \bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr). A hipérbole tem ramos abertos horizontalmente (à esquerda e à direita do centro).
  • Focos em \bigl(\tfrac{7}{12},0\bigr) e \bigl(\tfrac{17}{12},0\bigr), ambos entre o centro e os vértices (observe as posições numéricas: \tfrac{7}{12}\approx0,583, \tfrac{2}{3}\approx0,667, 1\approx1, \tfrac{4}{3}\approx1,333, \tfrac{17}{12}\approx1,417).
  • As assíntotas são duas retas passando pelo centro com inclinações \pm\tfrac{3}{4}. Para desenhar, trace as retas y=\tfrac{3}{4}(x-1) e y=-\tfrac{3}{4}(x-1) e desenhe os ramos aproximando-se dessas retas ao se afastarem do centro.
  • Pequeno “mapa” ASCII aproximado (não em escala, só para visualização rápida; o eixo horizontal é x e vertical y. O centro C, vértices V_1,V_2, e ramos indicados por curvas):
    y
    ^
    | \ / assíntota superior (direita)
    | /
    |—V2—C---V1—→ x
    | /
    | / \ assíntota inferior (direita)
    |
    Neste desenho simplificado, C=(1,0), V_2=(\tfrac{2}{3},0) fica à esquerda do centro e V_1=(\tfrac{4}{3},0) à direita; os ramos se abrem para direita e esquerda aproximando-se das assíntotas.

Resposta

Centro: (1,0)
Vértices: \bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr) e \bigl(\tfrac{2}{3},0\bigr)
Focos: \bigl(\tfrac{17}{12},0\bigr) e \bigl(\tfrac{7}{12},0\bigr)
Assíntotas: y=\tfrac{3}{4}(x-1) e y=-\tfrac{3}{4}(x-1)
Comprimento dos eixos: eixo transverso 2a=\tfrac{2}{3}; eixo conjugado 2b=\tfrac{1}{2}

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