Determine o centro, os vértices, os focos, as assíntotas e o comprimento dos eixos das hipérboles de cada um dos itens abaixo. Faça também um esboço das hipérboles.
(d)
;
(d)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não resolvo nada ainda). A equação dada é
O enunciado pede:
- Determinar o centro da hipérbole;
- Determinar os vértices;
- Determinar os focos;
- Determinar as assíntotas;
- Determinar o comprimento dos eixos (eixo real/transverso e eixo imaginário/conjugado);
- Fazer um esboço da hipérbole.
Informações relevantes da equação que usarei depois:
- Há termos quadráticos em
e e um termo linear em , então provavelmente a hipérbole está deslocada em . - Não há termo em
isolado (linear), então o deslocamento vertical pode ser , mas isso será confirmado ao completar quadrados.
Passo 2
Colocar a equação na forma adequada: agrupar os termos em
e completar o quadrado. Começo reescrevendo a equação isolando os termos em
:
Fatorando
dos termos que envolvem
:
Agora completo o quadrado em
. Lembre que para completar o quadrado de
acrescento e subtraio
, porque
. Assim:
Distribuindo
e somando constantes:
Passando o
para o outro lado:
Passo 3
Colocar na forma padrão da hipérbole. A forma padrão com eixo transverso horizontal é
onde
é o centro,
e
. Divido a equação por
(já está com
) e escrevo os denominadores explicitamente:
Portanto:
Explicando as variáveis (para ficar bem claro):
-
é o centro da hipérbole; -
é o semi-eixo transverso (distância do centro a cada vértice ao longo do eixo real); -
é o semi-eixo conjugado (distância do centro aos “co-vértices” imaginários no eixo conjugado); - para hipérboles horizontais, os vértices estão em
; - os focos estão em
, com definido por ; - as assíntotas têm equações
.
Calculo agora
e
:
Passo 4
Determinar o centro. Pela forma obtida
, o centro é
(Isto vem diretamente dos termos
e
.)
Passo 5
Determinar os vértices. Para hipérbole horizontal os vértices ficam em
. Assim:
Calculando as coordenadas explicitamente:
Logo os vértices são
e
.
Passo 6
Determinar os focos. Primeiro calculo
pela relação
. Substituindo:
Portanto
Os focos ficam em
, isto é:
Calculando:
Logo os focos são
e
.
Passo 7
Determinar as assíntotas. Para hipérbole horizontal com centro
as assíntotas são
Aqui
. Como
e
, as equações são
É comum escrever também de forma expandida:
Passo 8
Comprimento dos eixos. Explico: para hipérboles costuma-se chamar de comprimento do eixo transverso (real) o segmento que une os dois vértices: seu comprimento é
. O eixo conjugado (às vezes chamado eixo imaginário) tem comprimento
(segmento entre os co-vértices no eixo perpendicular).
Calculo:
Calculo:
Passo 9
Esboço da hipérbole (descrição e pontos principais para desenhar à mão). Instruções para desenhar:
-
Centro em
. -
Vértices em
e . A hipérbole tem ramos abertos horizontalmente (à esquerda e à direita do centro). -
Focos em
e , ambos entre o centro e os vértices (observe as posições numéricas: , , , , ). -
As assíntotas são duas retas passando pelo centro com inclinações
. Para desenhar, trace as retas e e desenhe os ramos aproximando-se dessas retas ao se afastarem do centro. -
Pequeno “mapa” ASCII aproximado (não em escala, só para visualização rápida; o eixo horizontal é
e vertical . O centro , vértices , e ramos indicados por curvas): y
^
| \ / assíntota superior (direita)
| /
|—V2—C---V1—→ x
| /
| / \ assíntota inferior (direita)
|
Neste desenho simplificado,, fica à esquerda do centro e à direita; os ramos se abrem para direita e esquerda aproximando-se das assíntotas.
Resposta
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Assíntotas: e
Comprimento dos eixos: eixo transverso ; eixo conjugado
Vértices:
Focos:
Assíntotas:
Comprimento dos eixos: eixo transverso