Determine a equação da hipérbole nos seguintes casos:
Determine a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas:
centro (0,4), um dos focos é (0,-1) e um dos seus pontos \mathrm{P}\left(\frac{16}{3}, 9\right);
Determine a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas:
centro (0,4), um dos focos é (0,-1) e um dos seus pontos \mathrm{P}\left(\frac{16}{3}, 9\right);
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujo centro é
, um foco é
e que passa pelo ponto
. O conteúdo envolve hipérboles com eixos alinhados aos eixos coordenados, uso da relação entre
,
e
, e substituição de um ponto na forma padrão.
Passo 2
Como o foco
está sobre a reta
passando pelo centro, o eixo transverso é vertical. Logo a forma padrão é
Passo 3
A distância do centro
ao foco
é
e para hipérbole vertical vale
Passo 4
Substituímos o ponto
na forma padrão:
Usando
, temos
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
e simplificando chega-se à equação quadrática em
:
cuja solução relevante (com
) é
Passo 6
Da relação
resulta
Resposta
A equação da hipérbole é