Mostre que 3 e 6 k-2 não admitem nenhum fator primo em comum.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os números 3 e 6k-2 não têm nenhum fator primo em comum. Em outras palavras, queremos provar que
gcd(3,,6k-2)=1
Usaremos propriedades do máximo divisor comum (mdc) e o algoritmo de Euclides.

Passo 2

Lembrando a propriedade do mdc: para quaisquer inteiros a, b e qualquer inteiro n, vale
gcd(a,b)=gcdl(a,,b - n,ar)

Passo 3

Aplicando essa propriedade com a=3, b=6k-2 e n=2k, temos
gcdl(3,,6k-2r) =gcdl(3,,6k-2 - (2k)cdot 3r) =gcdl(3,,6k-2 - 6kr) =gcd(3,,-2)

Passo 4

Como gcd(3,-2)=gcd(3,2) e 3 é primo que não divide 2, conclui-se que
gcd(3,2)=1

Passo 5

Portanto
gcd(3,,6k-2)=1,
ou seja, 3 e 6k-2 não têm nenhum fator primo em comum.

Resposta

gcd(3,6k-2)=1.

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