Determine a equação(s) linear(s) que descrevem o sub-espaço W do espaço vetorial V dado:
V=R^3, W gerado pelos vetores [l1 1 0] e [c-1 2 3]

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=R^3 e o subespaço W gerado pelos vetores
v1 = 110, v2 = -123
Precisamos encontrar a(s) equação(ões) linear(es) (homogêneas) que descrevem exatamente o plano W.

Passo 2

Para descrever implicitamente um plano que passa pela origem em R^3, buscamos um vetor normal n=(a,b,c) tal que
ncdot v1 = 0 e ncdot v2 = 0
A equação do plano será então ncdot x = 0, isto é uma equação linear em x=(x,y,z).

Passo 3

Escrevendo as condições de ortogonalidade:
acdot1 + bcdot1 + ccdot0 = 0
acdot(-1) + bcdot2 + ccdot3 = 0
Da primeira equação vem
a + b = 0 Longrightarrow b = -a

Passo 4

Substituindo b=-a na segunda equação:
-,a + 2(-a) + 3c = 0 Longrightarrow -3a + 3c = 0 Longrightarrow c = a
Logo o vetor normal geral é
n = (a,,-a,,a) = a,(1,-1,1)
Escolhendo a=1, temos n=(1,-1,1).

Passo 5

A equação do plano W fica
1cdot x + (-1)cdot y + 1cdot z = 0,
ou seja
x - y + z = 0

Resposta

x - y + z = 0

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