Determine a equação(s) linear(s) que descrevem o sub-espaço W do espaço vetorial V dado:
V=R^3, W gerado pelos vetores [c-1 2 0],[l0 1 2],[c-2 5 2]

Passo 1

O enunciado nos dá um subespaço WsubsetR^3 gerado pelos vetores
v1 = -120, v2 = 012, v3 = -252
Queremos encontrar a(s) equação(ões) linear(es) que descrevem W, isto é, a condição entre (x,y,z) para que (x,y,z)in W. Usaremos dependência linear e eliminação de parâmetros.

Passo 2

Verificamos que
o que dá o sistema
Da primeira equação vem , e a segunda confere . Logo , de modo que é base de .

Passo 3

Parametrizamos um vetor genérico de W como
(x,y,z)=s,v1 + t,v2 = l(-s,;2s+t,;2tr)
Daí
s = -x, 2s + t = y implies t = y + 2x, z = 2t = 2(y+2x) = 2y + 4x

Passo 4

A relação que todo (x,y,z)in W satisfaz é
z = 4x + 2y,
ou equivalentemente
4x + 2y - z = 0

Resposta

A equação linear que descreve o subespaço W é
4x + 2y - z = 0

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