Determine a equação da linha de força que passa pelo ponto
no campo:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar a linha de força (ou linha de campo) que passa pelo ponto
no campo
Conteúdo: linhas de força em campos vetoriais. Vamos usar que, em uma linha de força, o vetor posição
satisfaz
Precisamos resolver essas equações diferenciais pra achar a curva.
Passo 2
Escrevendo as frações:
Repara que
, então
só faz sentido se
. Isso implica
Como a linha passa por
, temos
Passo 3
Agora focamos na parte
. Igualamos
Isso significa
Vamos reorganizar pra ficar uma forma exata:
Chama
e
. A condição de exatidão é
, e de fato
Então existe uma função potencial
tal que
Integrando
:
Agora fazemos
:
logo
. Logo
A linha de força é
. Como passa por
:
Então a equação é
Resposta
A linha de força que passa por
é dada por