Determine a equação da linha de força que passa pelo ponto (1, 2, 3) no campo:
(b) E=(x+y) ax+(x-y) ay.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a linha de força (ou linha de campo) que passa pelo ponto vec E = (x+y),vec ax + (x-y),vec ay no campo
dxEx ;=;dyEy;=;dzEz
Conteúdo: linhas de força em campos vetoriais. Vamos usar que, em uma linha de força, o vetor posição satisfaz
Precisamos resolver essas equações diferenciais pra achar a curva.

Passo 2

Escrevendo as frações:
dxx+y ;=;dy,x-y,;=;dz0
Repara que z = constante , então boxedz=3 só faz sentido se . Isso implica
Como a linha passa por , temos

Passo 3

Agora focamos na parte dxx+y ;=;dyx-y . Igualamos
(x-y),dx ;=;(x+y),dy
Isso significa
(y - x),dx ;+;(x + y),dy ;=;0
Vamos reorganizar pra ficar uma forma exata:
partial Mpartial y=1, partial Npartial x=1
Chama dPsi = M,dx + N,dy e Psi(x,y) = integral (y - x),dx = xy - x^22 + h(y) . A condição de exatidão é partialPsipartial y = x + h'(y) stackrel!= x + y ;;Longrightarrow;; h'(y)=y, , e de fato
Psi(x,y)=xy - x^22 + y^22
Então existe uma função potencial Psi(1,2)=1cdot2 - tfrac1^22 + tfrac2^22 =2 - tfrac12 + 2 =tfrac72 tal que
xy - x^22 + y^22 = 72
Integrando :
Agora fazemos :
logo . Logo
A linha de força é . Como passa por :
Então a equação é

Resposta

A linha de força que passa por boxed xy - tfracx^22 + tfracy^22 = tfrac72, z = 3 é dada por

Exercícios relacionados