Um pequeno bloco de massa
é colocado no interior de um cone invertido que gira em torno de um eixo vertical de modo que o tempo para uma revolução é
. As paredes do cone fazem um ângulo
com a vertical e o coeficiente de atrito estático entre o bloco e as paredes do cone é
.
(b) Para que o bloco permaneça a uma altura
acima do vértice do cone, qual deve ser o valor mínimo de
? (atenção com a direção da força de atrito!)
(b) Para que o bloco permaneça a uma altura
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: temos um cone “de cabeça para baixo” que roda em torno de um eixo vertical com período
. Lá dentro, encostado na parede, fica um bloquinho de massa
, e a parede forma um ângulo
com a vertical. Entre o bloco e a parede há atrito (coeficiente estático
).
O que a gente quer (parte b) é achar o valor mínimo de para que o bloco “flutue” parado a uma altura
acima do vértice do cone.
Conteúdo envolvido:
O que a gente quer (parte b) é achar o valor mínimo de
Conteúdo envolvido:
- Cinemática de movimento circular (força centrípeta).
- Equilíbrio estático com atrito.
- Decomposição de forças em eixos vertical e horizontal.
Passo 2
Primeiro, liga o esquema mental ou faz um desenho:
- O bloco sofre o peso
para baixo. - A parede do cone empurra o bloco com a normal
, perpendicular à face inclinada (que faz com a vertical). - O atrito estático
atua ao longo da face, para cima (impede o bloco de escorregar para baixo), até o máximo . - Pela rotação, há força centrípeta
apontando para o eixo, que deve vir da componente horizontal da normal (e do atrito, se tiver componente nessa direção).
Além disso, geometricamente o raio do cone onde está o bloco é
Passo 3
Agora vamos projetar forças nos eixos vertical (eixo
) e horizontal (radial
):
Eixo vertical (soma de forças = 0, pq está parado):
Explicação: a normal tem componente para cima igual a
, e o atrito também ajuda para cima com componente
, já que a direção do atrito faz ângulo
com a vertical.
Eixo radial (força centrípeta):
Aqui a componente horizontal da normal é
e a do atrito (pra dentro) é
, e isso deve dar
.
Passo 4
Para achar o mínimo de
a gente usa o atrito no máximo:
. Substituindo esse valor nas duas equações:
- Vertical:
- Radial:
Agora substitui
da equação (1) na (2):
Cancela
e isola
:
Passo 5
Como o período
é
, a gente tem
Resposta
O valor mínimo do período
para que o bloco permaneça estático na altura
é