Um pequeno bloco de massa m é colocado no interior de um cone invertido que gira em torno de um eixo vertical de modo que o tempo para uma revolução é T. As paredes do cone fazem um ângulo alpha com a vertical e o coeficiente de atrito estático entre o bloco e as paredes do cone é mue.
(b) Para que o bloco permaneça a uma altura h acima do vértice do cone, qual deve ser o valor mínimo de T ? (atenção com a direção da força de atrito!)

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos um cone “de cabeça para baixo” que roda em torno de um eixo vertical com período . Lá dentro, encostado na parede, fica um bloquinho de massa , e a parede forma um ângulo com a vertical. Entre o bloco e a parede há atrito (coeficiente estático ).
O que a gente quer (parte b) é achar o valor mínimo de para que o bloco “flutue” parado a uma altura acima do vértice do cone.
Conteúdo envolvido:
  • Cinemática de movimento circular (força centrípeta).
  • Equilíbrio estático com atrito.
  • Decomposição de forças em eixos vertical e horizontal.

Passo 2

Primeiro, liga o esquema mental ou faz um desenho:
  • O bloco sofre o peso r = htanalpha para baixo.
  • A parede do cone empurra o bloco com a normal , perpendicular à face inclinada (que faz com a vertical).
  • O atrito estático atua ao longo da face, para cima (impede o bloco de escorregar para baixo), até o máximo .
  • Pela rotação, há força centrípeta apontando para o eixo, que deve vir da componente horizontal da normal (e do atrito, se tiver componente nessa direção).
    Além disso, geometricamente o raio do cone onde está o bloco é

Passo 3

Agora vamos projetar forças nos eixos vertical (eixo Nsinalpha ;+; fcosalpha ;=; m g ) e horizontal (radial Ncosalpha ;+; fsinalpha ;=; m,omega^2,r ):
Eixo vertical (soma de forças = 0, pq está parado):
Explicação: a normal tem componente para cima igual a , e o atrito também ajuda para cima com componente , já que a direção do atrito faz ângulo com a vertical.
Eixo radial (força centrípeta):
Aqui a componente horizontal da normal é e a do atrito (pra dentro) é , e isso deve dar .

Passo 4

Para achar o mínimo de Nsinalpha + mue Ncosalpha = m g Longrightarrow N,( sinalpha + muecosalpha) = m g Longrightarrow N = m gsinalpha + muecosalpha a gente usa o atrito no máximo: Ncosalpha + mue Nsinalpha = m,omega^2,r Longrightarrow N,(cosalpha + muesinalpha) = m,omega^2,(htanalpha) . Substituindo esse valor nas duas equações:
  1. Vertical:
m gsinalpha + muecosalpha;(cosalpha + muesinalpha) = m,omega^2,htanalpha
  1. Radial:
omega^2 = g,(cosalpha + muesinalpha) h,tanalpha,(sinalpha + muecosalpha)
Agora substitui da equação (1) na (2):
Cancela e isola :

Passo 5

Como o período T = 2pi ,raiz1omega^2 = 2pi ,raizh,tanalpha,(sinalpha + muecosalpha) g,(cosalpha + muesinalpha) é , a gente tem

Resposta

O valor mínimo do período boxed Tmin = 2pi ,raizh,tanalpha,(sinalpha + muecosalpha) g,(cosalpha + muesinalpha) para que o bloco permaneça estático na altura é

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