Determine a equação da linha de força que passa pelo ponto (1, 2, 3) no campo:
(a) E=y ax+x ay;

Passo 1

Beleza! A questão está pedindo a “linha de força” (ou “linha de campo”) do campo vetorial
E(x,y,z) = y,ax ;+; x,ay
que passe pelo ponto dxEx ;=; dyEy ;=; dzEz, . Isso é um assunto de cálculo vetorial / equações diferenciais: para traçar as linhas de campo, a gente resolve o sistema
Vamos usar isso passo a passo.

Passo 2

Escrevendo os componentes:
Ex = y, Ey = x, Ez = 0
A condição de linha de força é
dxy ;=;dyx ;=;dz0
Repare que dz = 0 Longrightarrow z = constante só faz sentido se z = 3 . Logo
Como a linha de força passa por , temos

Passo 3

Agora focamos em
dxy = dyx
Isso significa
x,dx = y,dy
Integramos dos dois lados:
integral x,dx ;=;integral y,dy ;Longrightarrow; x^22 = y^22 + C
Multiplicando por 2:
x^2 = y^2 + C', onde C'=2C

Passo 4

Ajustamos a constante usando o ponto 1^2 = 2^2 + C' Longrightarrow 1 = 4 + C' Longrightarrow C' = -3 no plano x^2 = y^2 - 3 Longrightarrow y^2 - x^2 = 3 . Substituindo , :
Então a relação fica

Resposta

A linha de força que passa em boxedy^2 - x^2 = 3, z = 3 é dada por

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