Determine a equação do movimento no caso de a massa do Problema 3 ser inicialmente solta da posição de equilíbrio com a velocidade inicial de 2 pés/s para baixo.
Passo 1
O enunciado que você me deu pede: “Determine a equação do movimento no caso de a massa do Problema 3 ser inicialmente solta da posição de equilíbrio com a velocidade inicial de
pés/s para baixo.”
Informações explícitas que o enunciado fornece agora:
Informações explícitas que o enunciado fornece agora:
- A massa é solta da posição de equilíbrio, ou seja, deslocamento inicial
. - Velocidade inicial vale
pés/s para baixo (direção para baixo indicada).
Informações faltantes que seriam necessárias para um resultado numérico completo:
- o valor da massa (chamarei de
); - a constante da mola (chamarei de
); - se há amortecimento (coeficiente de amortecimento
) ou não.
Observação: como o enunciado original do “Problema 3” não foi enviado, eu não tenho os valores ou se existe amortecimento. Não posso dar um número final sem esses dados. Vou, então, resolver o problema de forma geral (símbolos) assumindo o caso mais comum e simples — mola sem amortecimento — e mostrar também como proceder se houver amortecimento. Assim você consegue aplicar o raciocínio na prova mesmo sem a constante numérica.
Passo 2
Decisão de método e convenção de sinais (explicando por quê): vou modelar como um oscilador massa-mola sem amortecimento (caso típico). Mediremos o deslocamento
a partir da posição de equilíbrio; isso elimina a força peso da equação porque a posição de equilíbrio já compensa a gravidade. Para a convenção de sinais escolho:
é para baixo (isto simplifica o sinal da velocidade inicial já que ela é para baixo). Se você preferir
para cima, o resultado será equivalente com sinais trocados — o importante é ser consistente.
Portanto usarei e
(pés/s, positivo para baixo).
Portanto usarei
Passo 3
Modelagem física e equação diferencial: a lei de Newton dá (força resultante = massa × aceleração). A única força elástica (em relação ao equilíbrio) é a de mola
agindo para reestabelecer, mas com a nossa convenção (para baixo positivo) a equação fica
Aqui:
-
é a massa (unidades: slugs, mas mantenha genérico); -
é a constante da mola (unidades: lb/ft ou equivalentes); -
é o deslocamento a partir do equilíbrio (pés); -
é a aceleração (pés/s²).
Explicação didática: medindo a partir do equilíbrio, o peso e a força da mola em repouso se anulam; a única força dinâmica é a força elástica linear(o sinal é tal que ela tende a devolver a massa ao equilíbrio).
Passo 4
Resolver a equação diferencial homogênea: escrevemos a característica
Resolvendo,
Definimos a pulsação (frequência angular)
Como as raízes são puramente imaginárias, a solução geral é harmônica:
Explicação: quando a equação homogênea tem raízes
, a solução é combinação de cosseno e seno com frequência
. Os coeficientes
serão determinados pelas condições iniciais.
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
. Temos
, então
Logo
Derivando
,
Usando
obtemos
Avaliado em
,
Sabemos que
(pés/s para baixo, e escolhemos para baixo positivo), portanto
Passo 6
Escrever a solução particular com os coeficientes encontrados. Substituindo
e
em
temos
onde
Interpretação física: a amplitude é
pés; a massa executa movimento harmônico simples com pulsação
. O período é
e a frequência (ciclos por segundo) é
.
Passo 7
Observações úteis para a prova e casos variantes:
- Se o problema original (Problema 3) fornecer valores numéricos para
e , basta calcular e substituir para obter numérica. Ex.: se e então e . - Se houver amortecimento (isto é, existe um coeficiente
tal que a equação é ), a forma da solução muda: há três casos (subamortecido, criticamente amortecido, sobreamortecido). Para o caso mais comum em provas (subamortecido) a solução é uma senoide amortecida:
onde
e
. Para esse caso você precisaria do valor de
e então aplicar as condições iniciais como fizemos.
- Dica prática: sempre coloque
e na mesma convenção de sinais e resolva linearmente para os constantes da solução geral. Isso funciona para todos os casos lineares de segunda ordem.