Determine a equação do movimento no caso de a massa do Problema 3 ser inicialmente solta da posição de equilíbrio com a velocidade inicial de 2 pés/s para baixo.

Passo 1

O enunciado que você me deu pede: “Determine a equação do movimento no caso de a massa do Problema 3 ser inicialmente solta da posição de equilíbrio com a velocidade inicial de 2 pés/s para baixo.”
Informações explícitas que o enunciado fornece agora:
  • A massa é solta da posição de equilíbrio, ou seja, deslocamento inicial x(0)=0.
  • Velocidade inicial vale 2 pés/s para baixo (direção para baixo indicada).
Informações faltantes que seriam necessárias para um resultado numérico completo:
  • o valor da massa (chamarei de m);
  • a constante da mola (chamarei de k);
  • se há amortecimento (coeficiente de amortecimento c) ou não.
    Observação: como o enunciado original do “Problema 3” não foi enviado, eu não tenho os valores ou se existe amortecimento. Não posso dar um número final sem esses dados. Vou, então, resolver o problema de forma geral (símbolos) assumindo o caso mais comum e simples — mola sem amortecimento — e mostrar também como proceder se houver amortecimento. Assim você consegue aplicar o raciocínio na prova mesmo sem a constante numérica.

Passo 2

Decisão de método e convenção de sinais (explicando por quê): vou modelar como um oscilador massa-mola sem amortecimento (caso típico). Mediremos o deslocamento x(t) a partir da posição de equilíbrio; isso elimina a força peso da equação porque a posição de equilíbrio já compensa a gravidade. Para a convenção de sinais escolho: x>0 é para baixo (isto simplifica o sinal da velocidade inicial já que ela é para baixo). Se você preferir x>0 para cima, o resultado será equivalente com sinais trocados — o importante é ser consistente.
Portanto usarei x(0)=0 e x'(0)=2 (pés/s, positivo para baixo).

Passo 3

Modelagem física e equação diferencial: a lei de Newton dá (força resultante = massa × aceleração). A única força elástica (em relação ao equilíbrio) é a de mola -k x agindo para reestabelecer, mas com a nossa convenção (para baixo positivo) a equação fica
m\,x''(t)+k\,x(t)=0.
Aqui:
  • m é a massa (unidades: slugs, mas mantenha m genérico);
  • k é a constante da mola (unidades: lb/ft ou equivalentes);
  • x(t) é o deslocamento a partir do equilíbrio (pés);
  • x''(t) é a aceleração (pés/s²).
    Explicação didática: medindo a partir do equilíbrio, o peso e a força da mola em repouso se anulam; a única força dinâmica é a força elástica linear -k x (o sinal é tal que ela tende a devolver a massa ao equilíbrio).

Passo 4

Resolver a equação diferencial homogênea: escrevemos a característica
m r^{2}+k=0.
Resolvendo,
r=\pm i\sqrt{\frac{k}{m}}.
Definimos a pulsação (frequência angular)
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Como as raízes são puramente imaginárias, a solução geral é harmônica:
x(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t).
Explicação: quando a equação homogênea tem raízes \pm i\omega, a solução é combinação de cosseno e seno com frequência \omega. Os coeficientes C_{1},C_{2} serão determinados pelas condições iniciais.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Temos x(0)=0, então
x(0)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Logo
C_{1}=0.
Derivando x(t),
x'(t)=-C_{1}\,\omega\sin(\omega t)+C_{2}\,\omega\cos(\omega t).
Usando C_{1}=0 obtemos
x'(t)=C_{2}\,\omega\cos(\omega t).
Avaliado em t=0,
x'(0)=C_{2}\,\omega\cos(0)=C_{2}\,\omega.
Sabemos que x'(0)=2 (pés/s para baixo, e escolhemos para baixo positivo), portanto
C_{2}=\frac{2}{\omega}.

Passo 6

Escrever a solução particular com os coeficientes encontrados. Substituindo C_{1}=0 e C_{2}=2/\omega em x(t) temos
x(t)=\frac{2}{\omega}\sin(\omega t),
onde
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Interpretação física: a amplitude é A=\dfrac{2}{\omega} pés; a massa executa movimento harmônico simples com pulsação \omega. O período é T=\dfrac{2\pi}{\omega} e a frequência (ciclos por segundo) é f=\dfrac{\omega}{2\pi}.

Passo 7

Observações úteis para a prova e casos variantes:
  • Se o problema original (Problema 3) fornecer valores numéricos para m e k, basta calcular \omega=\sqrt{k/m} e substituir para obter x(t) numérica. Ex.: se m=1 e k=9 então \omega=3 e x(t)=\dfrac{2}{3}\sin(3t).
  • Se houver amortecimento (isto é, existe um coeficiente c>0 tal que a equação é m x''+c x'+k x=0), a forma da solução muda: há três casos (subamortecido, criticamente amortecido, sobreamortecido). Para o caso mais comum em provas (subamortecido) a solução é uma senoide amortecida:
x(t)=e^{-\zeta\omega t}\Big(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t)\Big),
onde \zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{mk}} e \omega_{d}=\omega\sqrt{1-\zeta^{2}}. Para esse caso você precisaria do valor de c e então aplicar as condições iniciais como fizemos.
  • Dica prática: sempre coloque x(0) e x'(0) na mesma convenção de sinais e resolva linearmente para os constantes da solução geral. Isso funciona para todos os casos lineares de segunda ordem.

Resposta

x(t)=\frac{2}{\omega}\sin(\omega t)\quad\text{com}\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.

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