Uma massa pesando 8 libras é presa a uma mola. Quando em movimento, o sistema massa/mola exibe um movimento harmônico simples.
a) Determine a equação do movimento se a constante da mola for de 1 \mathrm{lb} / pé e a massa for inicialmente solta de um ponto 6 polegadas abaixo da posição de equilíbrio a uma velocidade de \frac{3}{2} pés/s para baixo.
b) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6).
c) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6’).

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a equação do movimento de um sistema massa-mola em movimento harmônico simples, e depois escreva essa equação em duas formas diferentes. Dados fornecidos (vou listar tudo bem claro):
  • Peso da massa: \;8\\ \text{lb}.
  • Constante da mola: \;1\\ \text{lb/ft}.
  • Posição inicial: a massa é solta a 6 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, isto é, deslocamento inicial de 6 in abaixo do equilíbrio.
  • Velocidade inicial: \;\tfrac{3}{2}\\ \text{ft/s} para baixo.
  • Perguntas:
    (a) Determine a equação do movimento x(t).
    (b) Expresse x(t) na forma dada em (6). (Vou tomar a forma usual (6) como \;x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t).)
    (c) Expresse x(t) na forma dada em (6’). (Vou tomar a forma usual (6’) como a forma com amplitude e fase \;x(t)=R\cos(\omega t-\delta); também vou mostrar a forma equivalente com seno, se ajudar.)
Obs.: tomei como positivo o sentido para baixo (facilita porque o enunciado dá deslocamento e velocidade para baixo). Converterei unidades para pés e slugs (unidade de massa no sistema inglês) onde for preciso.

Passo 2

Montando a equação do movimento e convertendo unidades:
  • Primeiro, converto 6 polegadas para pés: 6 in = 0{,}5 ft. Então o deslocamento inicial é \;x(0)=0{,}5\\ \text{ft} (positivo para baixo).
  • A velocidade inicial é \;x'(0)=\tfrac{3}{2}\\ \text{ft/s} (para baixo, logo positiva).
  • A massa m não é dada diretamente; é dado o peso W=8\\ \text{lb}. No sistema inglês, W=mg com g\approx 32\\ \text{ft/s}^2. Assim m=\frac{W}{g}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}\\ \text{slug}.Expliquei isto porque a equação do movimento usa massa m (slugs) e constante da mola k (lb/ft).
  • Força restauradora da mola (Lei de Hooke) é -k x. Para movimento livre sem amortecimento, a equação diferencial (segunda ordem linear homogênea) é m x'' + k x = 0.
  • Substituindo m=\tfrac{1}{4} e k=1 obtemos \frac{1}{4}x''+1\cdot x=0.Multiplicando por 4 para simplificar: x'' + 4x = 0.
  • Aqui aparece a frequência angular natural \omega definida por \omega^2=\dfrac{k}{m}. Calculando: \omega^2=\frac{k}{m}=\frac{1}{1/4}=4\quad\Rightarrow\quad \omega=2\\ \text{rad/s}.Interpretação física: o sistema oscila com frequência angular 2.

Passo 3

Resolver a EDO homogênea x''+4x=0:
  • A solução geral de x''+\omega^2 x=0 é a combinação linear de cosseno e seno: x(t)=C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t).
  • Substituindo \omega=2 temos a solução geral x(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t).Isso é justamente a forma típica de movimento harmônico simples: duas constantes C_1,C_2 serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para achar C_1 e C_2:
  • Em t=0: x(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)=C_1.Como x(0)=0{,}5, segue C_1=0{,}5.
  • Derivando x(t): x'(t)=-2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t).Em t=0: x'(0)=-2C_1\cdot 0 + 2C_2\cdot 1 = 2C_2.Como x'(0)=\tfrac{3}{2}, temos 2C_2=\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad C_2=\frac{3}{4}.

Passo 5

Escrevendo a solução particular com os valores encontrados (resposta da parte a):
  • Substituindo C_1 e C_2 em x(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t) obtemos x(t)=\frac{1}{2}\cos(2t)+\frac{3}{4}\sin(2t).
  • Interpretação: x(t) em pés, positivo para baixo. Isso é o movimento harmônico simples pedido.

Passo 6

Expressar na forma dada em (6) — que considerei como \;x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t):
  • Comparando, temos \;A=\tfrac{1}{2}, \;B=\tfrac{3}{4} e \;\omega=2.
  • Portanto a forma (6) é x(t)=\frac{1}{2}\cos(2t)+\frac{3}{4}\sin(2t).(É exatamente a mesma que já escrevemos na Passo 5; aqui só reescrevo no formato pedido e explico cada constante.)

Passo 7

Expressar na forma dada em (6’) — que considerei como a forma com amplitude e fase \;x(t)=R\cos(\omega t-\delta). Vou calcular R e \delta passo a passo:
  • Fórmula de passagem entre as formas: R=\sqrt{A^2+B^2},\qquad \cos\delta=\frac{A}{R},\qquad \sin\delta=\frac{B}{R},ou de modo direto \delta=\arctan\!\big(\tfrac{B}{A}\big) (ajustando quadrante quando necessário).
  • Aqui A=\tfrac{1}{2} e B=\tfrac{3}{4}. Calculo de R: R=\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(\tfrac{3}{4}\right)^2} =\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tfrac{9}{16}}=\sqrt{\tfrac{4}{16}+\tfrac{9}{16}} =\sqrt{\tfrac{13}{16}}=\frac{\sqrt{13}}{4}.
  • Agora a fase \delta: \delta=\arctan\!\big(\tfrac{B}{A}\big)=\arctan\!\big(\tfrac{3/4}{1/2}\big)=\arctan\!\big(\tfrac{3}{2}\big).Em radianos isso vale aproximadamente \;0{,}98279\\ \text{rad} (ou \;56{,}3099^\circ).
  • Assim a forma com amplitude e fase é x(t)=\frac{\sqrt{13}}{4}\cos\!\big(2t-\arctan\!\tfrac{3}{2}\big).
  • Observação: também podemos escrever em forma de seno com fase \varphi (às vezes (6’) usa seno). Usando outra identidade, podemos escrever x(t)=\frac{\sqrt{13}}{4}\sin\!\big(2t+\varphi\big),onde \varphi=\arctan\!\big(\tfrac{A}{B}\big)=\arctan\!\big(\tfrac{2}{3}\big)\approx 0{,}588\\ \text{rad}. Ambas as formas são equivalentes.

Resposta

(a) x(t)=\dfrac{1}{2}\cos(2t)+\dfrac{3}{4}\sin(2t).\n
(b) x(t)=\dfrac{1}{2}\cos(2t)+\dfrac{3}{4}\sin(2t).\n
(c) x(t)=\dfrac{\sqrt{13}}{4}\cos\!\big(2t-\arctan\!\tfrac{3}{2}\big).

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