Uma massa pesando 8 libras é presa a uma mola. Quando em movimento, o sistema massa/mola exibe um movimento harmônico simples.
a) Determine a equação do movimento se a constante da mola for de
pé e a massa for inicialmente solta de um ponto 6 polegadas abaixo da posição de equilíbrio a uma velocidade de
pés/s para baixo.
b) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6).
c) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6’).
a) Determine a equação do movimento se a constante da mola for de
b) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6).
c) Expresse a equação do movimento na forma dada em (6’).
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a equação do movimento de um sistema massa-mola em movimento harmônico simples, e depois escreva essa equação em duas formas diferentes. Dados fornecidos (vou listar tudo bem claro):
- Peso da massa:
. - Constante da mola:
. - Posição inicial: a massa é solta a
polegadas abaixo da posição de equilíbrio, isto é, deslocamento inicial de in abaixo do equilíbrio. - Velocidade inicial:
para baixo. - Perguntas:
(a) Determine a equação do movimento.
(b) Expressena forma dada em (6). (Vou tomar a forma usual (6) como .)
(c) Expressena forma dada em (6’). (Vou tomar a forma usual (6’) como a forma com amplitude e fase ; também vou mostrar a forma equivalente com seno, se ajudar.)
Obs.: tomei como positivo o sentido para baixo (facilita porque o enunciado dá deslocamento e velocidade para baixo). Converterei unidades para pés e slugs (unidade de massa no sistema inglês) onde for preciso.
Passo 2
Montando a equação do movimento e convertendo unidades:
- Primeiro, converto
polegadas para pés: in = ft. Então o deslocamento inicial é (positivo para baixo). - A velocidade inicial é
(para baixo, logo positiva). - A massa
não é dada diretamente; é dado o peso . No sistema inglês, com . Assim Expliquei isto porque a equação do movimento usa massa (slugs) e constante da mola (lb/ft). - Força restauradora da mola (Lei de Hooke) é
. Para movimento livre sem amortecimento, a equação diferencial (segunda ordem linear homogênea) é - Substituindo
e obtemos Multiplicando por para simplificar: - Aqui aparece a frequência angular natural
definida por . Calculando: Interpretação física: o sistema oscila com frequência angular .
Passo 3
Resolver a EDO homogênea
:
- A solução geral de
é a combinação linear de cosseno e seno: - Substituindo
temos a solução geral Isso é justamente a forma típica de movimento harmônico simples: duas constantes serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Aplicar as condições iniciais para achar
e
:
- Em
: Como , segue - Derivando
: Em : Como , temos
Passo 5
Escrevendo a solução particular com os valores encontrados (resposta da parte a):
- Substituindo
e em obtemos - Interpretação:
em pés, positivo para baixo. Isso é o movimento harmônico simples pedido.
Passo 6
Expressar na forma dada em (6) — que considerei como
:
- Comparando, temos
, e . - Portanto a forma (6) é
(É exatamente a mesma que já escrevemos na Passo 5; aqui só reescrevo no formato pedido e explico cada constante.)
Passo 7
Expressar na forma dada em (6’) — que considerei como a forma com amplitude e fase
. Vou calcular
e
passo a passo:
- Fórmula de passagem entre as formas:
ou de modo direto (ajustando quadrante quando necessário). - Aqui
e . Calculo de : - Agora a fase
: Em radianos isso vale aproximadamente (ou ). - Assim a forma com amplitude e fase é
- Observação: também podemos escrever em forma de seno com fase
(às vezes (6’) usa seno). Usando outra identidade, podemos escrever onde . Ambas as formas são equivalentes.
Resposta
(a)
.\n
(b) .\n
(c) .
(b)
(c)