Determine a equação do movimento para um sistema não amortecido na ressonância que é governado por d^2y/dt^2+y=5 cos t com PVI y(0)=0, e y^prime(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que descreve o movimento de um sistema que não tem amortecimento e está na ressonância. A equação dada é , e temos as condições iniciais e . Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem e métodos para encontrar soluções gerais e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é r^2 + 1 = 0 implies r = pm i . A solução dessa equação é baseada nas raízes da equação característica. Para essa equação, temos:
yh(t) = C1 cos t + C2 sin t
Isso nos leva à solução geral da homogênea:
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa yp(t) = t(A cos t + B sin t) . Como o termo do lado direito é yp'(t) = A cos t + B sin t + t(-A sin t + B cos t) , que já está presente na solução homogênea, usamos o método da multiplicação por yp''(t) = -2A sin t + 2B cos t + t(-A cos t - B sin t) para evitar duplicação. Proponho uma solução particular da forma:
(-2A sin t + 2B cos t + t(-A cos t - B sin t)) + t(A cos t + B sin t) = 5cos t
Vamos derivar -2A sin t + 2B cos t = 5cos t duas vezes e substituir na equação original para encontrar 2B = 5 implies B = 52 e -2A = 0 implies A = 0 .
Primeira derivada:
yp(t) = 52 t sin t
Segunda derivada:
Substituindo e na equação original:
Simplificando, os termos com se cancelam, ficando:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos t + C2 sin t + 52 t sin t

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar y(0) = C1 cos 0 + C2 sin 0 + 52 cdot 0 cdot sin 0 = C1 = 0 e y'(t) = -C1 sin t + C2 cos t + 52 sin t + 52 t cos t .
Primeiro, para y'(0) = C2 cos 0 + 52 sin 0 + 52 cdot 0 cdot cos 0 = C2 = 1 :
Então, .
Agora, derivamos para encontrar :
Substituindo e :
Então, .

Resposta

A equação do movimento é:
y(t) = sin t + 52 t sin t

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