Determine a equação do movimento para um sistema não amortecido na ressonância que é governado por
com
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que descreve o movimento de um sistema que não tem amortecimento e está na ressonância. A equação dada é
, e temos as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem e métodos para encontrar soluções gerais e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. A solução dessa equação é baseada nas raízes da equação característica. Para essa equação, temos:
Isso nos leva à solução geral da homogênea:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o termo do lado direito é
, que já está presente na solução homogênea, usamos o método da multiplicação por
para evitar duplicação. Proponho uma solução particular da forma:
Vamos derivar
duas vezes e substituir na equação original para encontrar
e
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando, os termos com
se cancelam, ficando:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Agora, derivamos
para encontrar
:
Substituindo
e
:
Então,
.
Resposta
A equação do movimento é: