Resolva a equação diferencial dada e quando for o caso obtenha a solução do PVI.
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
Conteúdo: EDO linear homogênea de 2ª ordem. Vamos precisar formar a equação característica e encontrar suas raízes.
Conteúdo: EDO linear homogênea de 2ª ordem. Vamos precisar formar a equação característica e encontrar suas raízes.
Passo 2
Formamos a equação característica associada substituindo ${y(x)=e^{rx}}$:
$$
3r^2 + 2r + 1 = 0
$$
3r^2 + 2r + 1 = 0
$$
Calculamos o discriminante:
$$
\Delta = 2^2 - 4\cdot3\cdot1 = 4 - 12 = -8
$$
\Delta = 2^2 - 4\cdot3\cdot1 = 4 - 12 = -8
$$
Como ${\Delta < 0}$, as raízes são complexas.
Passo 3
As raízes são
$$
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{6} = -\frac{1}{3} \pm i\frac{\sqrt{2}}{3}
$$
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{6} = -\frac{1}{3} \pm i\frac{\sqrt{2}}{3}
$$
Logo, temos $\alpha = -1/3$ e $\beta = \sqrt{2}/3$. A solução geral de uma EDO com raízes complexas $\alpha \pm i\beta$ é:
$$
y(x) = C_1 e^{\alpha x}\cos(\beta x) + C_2 e^{\alpha x}\sin(\beta x)
$$
y(x) = C_1 e^{\alpha x}\cos(\beta x) + C_2 e^{\alpha x}\sin(\beta x)
$$
Substituindo $\alpha$ e $\beta$:
$$
y(x) = C_1 e^{-x/3}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\bigr) + C_2 e^{-x/3}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\bigr).
$$
y(x) = C_1 e^{-x/3}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\bigr) + C_2 e^{-x/3}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\bigr).
$$
Passo 4
Não foram fornecidas condições iniciais, então ficamos apenas com a solução geral.
Resposta
y(x) = C_{1} e^{-x/3} \cos\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\bigr) + C_{2} e^{-x/3} \sin\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\bigr)