Questão C.3: (1.5 pontos) O produto de dois números positivos é 200. Determine esses números de forma que a soma deles tenha o menor valor possível.

Passo 1

O enunciado diz que o produto de dois números positivos x e y é 200, e queremos achar esses números para que a soma x+y seja mínima. O conteúdo envolve otimização de funções sujeitas a restrições, que podemos tratar usando cálculo (derivadas).

Passo 2

A partir da restrição xy=200, isolamos y como função de x. Assim temos
y=200x
e a soma dos números fica
S(x)=x+y=x+200x

Passo 3

Para encontrar o mínimo de S(x), calculamos a derivada em relação a x e igualamos a zero. Primeiro,
S'(x)=1-200x^2

Passo 4

Igualando a zero, obtemos
1-200x^2=0Rightarrow x^2=200Rightarrow x=raiz200=10raiz2,
como x>0. Pelo mesmo raciocínio, y=200/x também vale 10√2. Verificamos que esse ponto realmente dá mínimo porque S’(x)<0 para x<10√2 e S’(x)>0 para x>10√2.

Passo 5

Portanto, a soma é mínima quando os dois números são iguais a 10√2.

Resposta

Os números são 10raiz2 e 10raiz2.

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