Questão C.3: (1.5 pontos) O produto de dois números positivos é 200. Determine esses números de forma que a soma deles tenha o menor valor possível.
Passo 1
O enunciado diz que o produto de dois números positivos x e y é 200, e queremos achar esses números para que a soma x+y seja mínima. O conteúdo envolve otimização de funções sujeitas a restrições, que podemos tratar usando cálculo (derivadas).
Passo 2
A partir da restrição xy=200, isolamos y como função de x. Assim temos
e a soma dos números fica
Passo 3
Para encontrar o mínimo de S(x), calculamos a derivada em relação a x e igualamos a zero. Primeiro,
Passo 4
Igualando a zero, obtemos
como x>0. Pelo mesmo raciocínio, y=200/x também vale 10√2. Verificamos que esse ponto realmente dá mínimo porque S’(x)<0 para x<10√2 e S’(x)>0 para x>10√2.
Passo 5
Portanto, a soma é mínima quando os dois números são iguais a 10√2.
Resposta
Os números são
e
.