Uma massa de 10 kg está suspensa por uma mola cuja constante é
. A massa é colocada em movimento a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial de
para cima
e com uma força externa aplicada
. Determine o movimento subsequente da massa, considerando a força da resistência do ar igual a
.
Passo 1
Vamos lá! Temos um problema de física envolvendo uma massa suspensa por uma mola, com forças como resistência do ar e uma força externa aplicada. O que precisamos fazer é montar a equação do movimento dessa massa e resolver para encontrar a posição da massa em função do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na massa:
- Força da mola: A mola exerce uma força proporcional ao deslocamento, dada por
, onde e é o deslocamento. - Força de resistência do ar: Essa força é proporcional à velocidade e age no sentido contrário,
. - Força externa: É dada por
.
Como a massa está em movimento vertical, vamos aplicar a segunda lei de Newton para somar todas as forças:
Passo 3
Substituindo as expressões das forças na equação:
Vamos rearranjar a equação para deixá-la na forma padrão:
Passo 4
Dividindo toda a equação por 10 para simplificar:
Agora temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo forçado.
Passo 5
Vamos resolver essa equação em duas partes: a solução homogênea (
) e a solução particular (
).
Solução Homogênea (
):
Resolvemos a equação homogênea associada:
Resolvemos a equação homogênea associada:
Assumindo uma solução da forma
, substituímos na equação para encontrar o valor de
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Portanto, a solução homogênea é:
Solução Particular (
):
Para o termo forçado , assumimos uma solução particular da forma:
Para o termo forçado
Derivando:
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
→
Substituindo na segunda equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os constantes
e
.
Primeiro, na posição inicial
:
Então:
Segundo, na velocidade inicial
:
Derivando
:
Em
:
Então:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então:
Passo 9
Agora que temos os valores de
e
, podemos escrever a solução completa:
Resposta
O movimento da massa é dado por: