Uma massa de 10 kg está suspensa por uma mola cuja constante é 140 N/m. A massa é colocada em movimento a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial de 1 m/s para cima (y^prime(0)=-1) e com uma força externa aplicada F(t)=5 sen t. Determine o movimento subsequente da massa, considerando a força da resistência do ar igual a -90dy/dt.

Passo 1

Vamos lá! Temos um problema de física envolvendo uma massa suspensa por uma mola, com forças como resistência do ar e uma força externa aplicada. O que precisamos fazer é montar a equação do movimento dessa massa e resolver para encontrar a posição da massa em função do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na massa:
  • Força da mola: A mola exerce uma força proporcional ao deslocamento, dada por m d^2ydt^2 = Fmola + Fresistência + F(t) , onde e é o deslocamento.
  • Força de resistência do ar: Essa força é proporcional à velocidade e age no sentido contrário, ê.
  • Força externa: É dada por .
Como a massa está em movimento vertical, vamos aplicar a segunda lei de Newton para somar todas as forças:
ê

Passo 3

Substituindo as expressões das forças na equação:
10 d^2ydt^2 = -140 y - 90 dydt + 5 sin t
Vamos rearranjar a equação para deixá-la na forma padrão:
10 d^2ydt^2 + 90 dydt + 140 y = 5 sin t

Passo 4

Dividindo toda a equação por 10 para simplificar:
d^2ydt^2 + 9 dydt + 14 y = 0.5 sin t
Agora temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo forçado.

Passo 5

Vamos resolver essa equação em duas partes: a solução homogênea ( d^2ydt^2 + 9 dydt + 14 y = 0 ) e a solução particular ( r^2 + 9r + 14 = 0 ).
Solução Homogênea ( r = -9 pm raiz81 - 562 = -9 pm raiz252 = -9 pm 52 ):
Resolvemos a equação homogênea associada:
r1 = -2 e r2 = -7
Assumindo uma solução da forma yh(t) = C1 e^-2t + C2 e^-7t , substituímos na equação para encontrar o valor de yp(t) = A cos t + B sin t :
dypdt = -A sin t + B cos t
Usando a fórmula de Bhaskara:
d^2ypdt^2 = -A cos t - B sin t
Então, temos duas raízes:
(-A cos t - B sin t) + 9(-A sin t + B cos t) + 14(A cos t + B sin t) = 0.5 sin t
Portanto, a solução homogênea é:
(-A + 9B + 14A) cos t + (-B - 9A + 14B) sin t = 0.5 sin t
Solução Particular ( (13A + 9B) cos t + (-9A + 13B) sin t = 0.5 sin t ):
Para o termo forçado 13A + 9B = 0 , assumimos uma solução particular da forma:
-9A + 13B = 0.5
Derivando:
-9(-913B) + 13B = 0.5
8113B + 13B = 0.5
Substituindo (81 + 16913) B = 0.5 e suas derivadas na equação diferencial:
25013B = 0.5
Simplificando:
B = 0.5 times 13250 = 6.5250 = 0.026
A = -913 times 0.026 approx -0.018
Igualando os coeficientes:
yp(t) = -0.018 cos t + 0.026 sin t
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^-2t + C2 e^-7t - 0.018 cos t + 0.026 sin t

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os constantes y(0) = C1 + C2 - 0.018 = 0 e C1 + C2 = 0.018 (1) .
Primeiro, na posição inicial dydt = -2C1 e^-2t -7C2 e^-7t + 0.018 sin t + 0.026 cos t :
y'(0) = -2C1 -7C2 + 0.026 = -1
Então:
-2C1 -7C2 = -1.026 (2)
Segundo, na velocidade inicial :
Derivando :
Em :
Então:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (1):
C1 = 0.018 - C2
Substituindo na equação (2):
-2(0.018 - C2) -7C2 = -1.026
-0.036 + 2C2 -7C2 = -1.026
-0.036 -5C2 = -1.026
-5C2 = -0.99
C2 = 0.995 = 0.198
Então:
C1 = 0.018 - 0.198 = -0.18

Passo 9

Agora que temos os valores de y(t) = -0.18 e^-2t + 0.198 e^-7t - 0.018 cos t + 0.026 sin t e , podemos escrever a solução completa:

Resposta

O movimento da massa é dado por:
y(t) = -0.18 e^-2t + 0.198 e^-7t - 0.018 cos t + 0.026 sin t

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