Determine a equação da parábola gerada pela interseção do cone duplo x^{2}+y^{2}=z^{2} com o plano z=2 y.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies no espaço e pede a curva de interseção (que o enunciado chama de parábola):
  • Cone duplo: x^{2}+y^{2}=z^{2}.
  • Plano: z=2y.
O pedido é: determinar a equação da curva obtida pela interseção dessas duas superfícies (o enunciado afirma ser uma parábola).
Informações relevantes dadas:
  • Qualquer ponto da interseção satisfaz simultaneamente x^{2}+y^{2}=z^{2} e z=2y.
  • O plano passa pela origem (0,0,0) (basta ver que para y=0 temos z=0).
  • O cone tem vértice na origem.

Passo 2

Vamos eliminar z usando a equação do plano e substituir na equação do cone. Pegando a relação do plano:
z=2y,
substituímos em
x^{2}+y^{2}=z^{2}.
Fazendo a substituição obtemos:
x^{2}+y^{2}=(2y)^{2}.

Passo 3

Desenvolvendo o quadrado e simplificando:
x^{2}+y^{2}=4y^{2}
x^{2}=4y^{2}-y^{2}=3y^{2}.
Portanto a equação algébrica que relaciona x e y na curva de interseção é
x^{2}=3y^{2}.

Passo 4

A equação \,x^{2}=3y^{2}\, pode ser reescrita como
x^{2}-3y^{2}=0
e fatorada em termos lineares:
\bigl(x-\sqrt{3}\,y\bigr)\bigl(x+\sqrt{3}\,y\bigr)=0.
Isto mostra que, no plano coordenado (x,y), a curva é a união de duas retas que passam pela origem: x=\sqrt{3}\,y e x=-\sqrt{3}\,y.

Passo 5

Agora traduzimos isso de volta para o espaço, lembrando que z=2y. Cada reta na projeção (x,y) corresponde à reta no espaço obtida impondo também z=2y. Tomando um parâmetro t para y (ou seja y=t), obtemos as duas retas paramétricas:
\text{Reta 1: }\; x=\sqrt{3}\,t,\; y=t,\; z=2t.
\text{Reta 2: }\; x=-\sqrt{3}\,t,\; y=t,\; z=2t.

Passo 6

Interpretação geométrica e comentário didático: quando um plano passa pelo vértice de um cone duplo, a interseção é um caso degenerado das cônicas — tipicamente uma união de retas — e não uma cônica não degenerada (elipse, parábola ou hipérbole). A parábola aparece quando o plano corta o cone sem passar pelo vértice e for paralelo a uma geratriz do cone; aqui o plano passa pelo vértice, por isso a interseção é degenerada em duas retas geratrizes.

Resposta

\begin{cases}x^{2}=3y^{2},\\\ z=2y\end{cases} (equivalente às duas retas paramétricas (x,y,z)=(\pm\sqrt{3}\,t,\;t,\;2t), t\in\mathbb{R}).

Exercícios relacionados