Determine a equação da parábola gerada pela interseção do cone duplo
com o plano
.
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies no espaço e pede a curva de interseção (que o enunciado chama de parábola):
- Cone duplo:
. - Plano:
.
O pedido é: determinar a equação da curva obtida pela interseção dessas duas superfícies (o enunciado afirma ser uma parábola).
Informações relevantes dadas:
- Qualquer ponto da interseção satisfaz simultaneamente
e . - O plano passa pela origem
(basta ver que para temos ). - O cone tem vértice na origem.
Passo 2
Vamos eliminar
usando a equação do plano e substituir na equação do cone. Pegando a relação do plano:
substituímos em
Fazendo a substituição obtemos:
Passo 3
Desenvolvendo o quadrado e simplificando:
Portanto a equação algébrica que relaciona
e
na curva de interseção é
Passo 4
A equação
pode ser reescrita como
e fatorada em termos lineares:
Isto mostra que, no plano coordenado
, a curva é a união de duas retas que passam pela origem:
e
.
Passo 5
Agora traduzimos isso de volta para o espaço, lembrando que
. Cada reta na projeção
corresponde à reta no espaço obtida impondo também
. Tomando um parâmetro
para
(ou seja
), obtemos as duas retas paramétricas:
Passo 6
Interpretação geométrica e comentário didático: quando um plano passa pelo vértice de um cone duplo, a interseção é um caso degenerado das cônicas — tipicamente uma união de retas — e não uma cônica não degenerada (elipse, parábola ou hipérbole). A parábola aparece quando o plano corta o cone sem passar pelo vértice e for paralelo a uma geratriz do cone; aqui o plano passa pelo vértice, por isso a interseção é degenerada em duas retas geratrizes.