QUESTÃO 02 : Complete as igualdades abaixo, escrevendo em formato de conjunto se o conjunto estiver na notação de intervalo, e no formato de intervalo se estiver descrito no formato de conjunto, utilizando caso necessário os símbolos \cap \mathrm{e} \cup.
(-\infty, \pi]=

Passo 1

O enunciado pede para completar a igualdade trocando a notação de intervalo pela notação de conjunto (e usar \cap ou \cup se necessário). A informação dada é o intervalo
(-\infty,\pi].
O objetivo aqui é escrever esse intervalo na forma de conjunto (notação por condição), isto é, algo como \{\,x\in\mathbb{R}\mid\text{condição sobre }x\,\}çã.

Passo 2

Vamos entender o que cada parte do intervalo significa, devagarinho:
  • O símbolo ( ao lado de -\infty indica que o extremo -\infty não é incluído. Na prática sempre usamos parêntese ao lado de -\infty porque -\infty não é um número que possa ser incluído.
  • O símbolo \pi] indica que o extremo \pi é incluído no intervalo (colchete à direita significa inclusão do ponto \pi).
  • O intervalo (-\infty,\pi] então é o conjunto de todos os números reais que vão "de menos infinito até \pi", incluindo \pi.

Passo 3

Converter essa ideia em uma desigualdade é direto: dizer "todos os x que estão até \pi, incluindo \pi" é dizer que x satisfaz
x \le \pi.
Aqui x representa um número real qualquer; a desigualdade x \le \pi significa " x é menor ou igual a \pi ".

Passo 4

Agora escrevemos isso em notação de conjunto (set-builder). A forma padrão é indicar o universo (aqui os reais) e a condição que x deve satisfazer. Assim:
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x \le \pi\,\}.
Explicando símbolos: \mathbb{R} é o conjunto dos números reais, \in significa “pertence a”, e a barra \mid separa o elemento da condição que ele deve cumprir.

Passo 5

Para reforçar, apresento duas formas equivalentes (úteis em provas):
  • Notação por condição (já dada):
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x \le \pi\,\}.
  • Como união de subconjuntos (às vezes pedem usar \cup):
(-\infty,\pi)\cup\{\pi\},
ou seja, todos os x estritamente menores que \pi mais o ponto \pi incluído.

Passo 6

Resumo rápido e motivador: sempre que houver um colchete \] em um extremo isso vira uma desigualdade com \le (ou \ge se for o lado esquerdo); parêntese vira < ou >; e -\infty ou +\infty sempre aparecem com parênteses.

Resposta

\{\,x\in\mathbb{R}\mid x \le \pi\,\}

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