Seja V= ^3, e considere o vetor fixo V=(1,2,3). Defina:
W=u^3 mid u cdot v=0
Ou seja, W é o conjunto de vetores ortogonais a v. Verifique se W é um subespaço vetorial e, se for, determine uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado trabalha em V=R^3 e fixa o vetor v=(1,2,3). Define-se
W=,uinR^3mid ucdot v=0,
ou seja, o conjunto de todos os vetores ortogonais a v. O conteúdo envolve subespaço vetorial (verificar núcleo de aplicação linear) e produto escalar. Vamos primeiro checar se W é subespaço de R^3 e depois encontrar uma base e a dimensão de W.

Passo 2

Para mostrar que W é subespaço de R^3, usamos que
f:R^3toR, f(u)=ucdot v
é uma aplicação linear. Logo,
W=ker(f)
é subespaço. Alternativamente, verifica-se diretamente:
  1. O vetor nulo satisfaz 0cdot v=0, logo 0in W.
  2. Se u1cdot v=0 e u2cdot v=0, então (u1+u2)cdot v=u1cdot v+u2cdot v=0, ou seja, u1+u2in W.
  3. Se ucdot v=0 e lambdainR, então (lambda u)cdot v=lambda,(ucdot v)=0, logo lambda uin W.

Passo 3

Para obter uma base, escrevemos u=(x,y,z) e impomos
ucdot v = x+2y+3z = 0
Resolvendo em função de parâmetros livres, escolhemos y=s e z=t. Então
x = -2s - 3t,
e
u = (x,y,z) = (-2s-3t,;s,;t) = s,(-2,1,0) + t,(-3,0,1)
Isso mostra que os vetores
u1 = (-2,1,0), u2 = (-3,0,1)
geram W. Como são manifestamente linearmente independentes, eles formam uma base de W.

Passo 4

Como a base de W tem dois vetores, concluímos que
dim(W) = 2

Resposta

Sim, W é subespaço vetorial de R^3. Uma base de W é
,(-2,1,0),;(-3,0,1),
e dim(W)=2.

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