Seja
, e considere o vetor fixo
. Defina:
Ou seja, W é o conjunto de vetores ortogonais a v. Verifique se W é um subespaço vetorial e, se for, determine uma base e a dimensão de W.
Passo 1
O enunciado trabalha em
e fixa o vetor
. Define-se
ou seja, o conjunto de todos os vetores ortogonais a
. O conteúdo envolve subespaço vetorial (verificar núcleo de aplicação linear) e produto escalar. Vamos primeiro checar se
é subespaço de
e depois encontrar uma base e a dimensão de
.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço de
, usamos que
é uma aplicação linear. Logo,
é subespaço. Alternativamente, verifica-se diretamente:
- O vetor nulo satisfaz
, logo . - Se
e , então , ou seja, . - Se
e , então , logo .
Passo 3
Para obter uma base, escrevemos
e impomos
Resolvendo em função de parâmetros livres, escolhemos
e
. Então
e
Isso mostra que os vetores
geram
. Como são manifestamente linearmente independentes, eles formam uma base de
.
Passo 4
Como a base de
tem dois vetores, concluímos que
Resposta
Sim,
é subespaço vetorial de
. Uma base de
é
e
.