6 Determine a equação da parábola que passa pelo ponto
e pelos focos da hipérbole de equação
.
Passo 1
O enunciado pede a equação da parábola que passa pelo ponto
e pelos focos da hipérbole
O conteúdo envolve cálculo dos focos de uma hipérbole e determinação de uma parábola que passa por três pontos dados. Vamos primeiro achar as coordenadas dos focos da hipérbole e depois ajustar a forma geral de uma parábola pelos três pontos.
Passo 2
Colocamos a hipérbole na forma reduzida dividindo ambos os lados por
:
Dessa forma,
,
e
Logo, os focos são os pontos
Passo 3
Adotamos a forma de parábola como uma função quadrática:
onde
,
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Impondo que a parábola passe por
,
e
, obtemos o sistema:
Passo 5
Da terceira equação já temos
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo
e
na segunda equação:
Passo 6
Portanto a parábola é
Em forma geral multiplicando por
e rearranjando:
Resposta
A equação da parábola é
ou equivalentemente