6 Determine a equação da parábola que passa pelo ponto (0,10) e pelos focos da hipérbole de equação 9 x^2-16 y^2=144.

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola que passa pelo ponto (0,10) e pelos focos da hipérbole
9x^2-16y^2=144
O conteúdo envolve cálculo dos focos de uma hipérbole e determinação de uma parábola que passa por três pontos dados. Vamos primeiro achar as coordenadas dos focos da hipérbole e depois ajustar a forma geral de uma parábola pelos três pontos.

Passo 2

Colocamos a hipérbole na forma reduzida dividindo ambos os lados por 144:
x^216-y^29=1
Dessa forma, a^2=16, b^2=9 e
c^2=a^2+b^2=16+9=25, c=5
Logo, os focos são os pontos
(pm c,0)=(pm5,0)

Passo 3

Adotamos a forma de parábola como uma função quadrática:
y = A x^2 + B x + C,
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 4

Impondo que a parábola passe por (-5,0), (5,0) e (0,10), obtemos o sistema:
0 = 25A ;-;5B ;+; C,
0 = 25A ;+;5B ;+; C,
10 = C

Passo 5

Da terceira equação já temos
C = 10
Subtraindo a primeira da segunda:
0 - 0 = l(25A+5B+ Cr) - l(25A-5B+ Cr) = 10B ;Longrightarrow; B = 0
Substituindo B=0 e C=10 na segunda equação:
0 = 25A + 0 + 10 ;Longrightarrow; A = -1025 = -25

Passo 6

Portanto a parábola é
y = -25x^2 + 10
Em forma geral multiplicando por 5 e rearranjando:
2x^2 + 5y - 50 = 0

Resposta

A equação da parábola é
y = 10 - 25,x^2
ou equivalentemente
2x^2 + 5y - 50 = 0

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