7 O latus rectum de uma parábola é o comprimento da corda da parábola perpendicular à reta focal que passa pelo foco da parábola. Determine a equação da parábola cujo latus rectum é o segmento A B onde A=(4,8) e B=(4,-2).

Passo 1

O enunciado diz que o segmento AB é o latus rectum da parábola. Lembrando que o latus rectum é a corda que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo de simetria da parábola, e seu comprimento vale 4p, onde p é a distância foco-vértice. Para montar a equação, precisamos encontrar o foco, determinar p e achar a orientação (eixo) da parábola.

Passo 2

Calcular o foco como o ponto médio de A=(4,8) e B=(4,-2). O ponto médio é
l(4+42,8+(-2)2r) = (4,3)
Logo, o foco é F=(4,3).

Passo 3

O comprimento do latus rectum é a distância entre A e B:
AB = raiz(4-4)^2 + (8-(-2))^2 = 10
Como AB=4p, temos
4p = 10 Longrightarrow p = 2,5

Passo 4

O segmento AB está sobre a reta vertical x=4, logo é perpendicular ao eixo de simetria, que é horizontal. Assim a parábola está na forma
(y - k)^2 = 4p,(x - h),
onde (h,k) é o vértice. Sabendo que o foco fica a uma distância p do vértice ao longo do eixo horizontal, e como escolhemos abertura para a direita, o vértice é
(h,k) = (4 - p,;3) = (4 - 2,5,;3) = (1,5,,3)

Passo 5

Substituindo p=2,5 e (h,k)=(1,5,3) na forma padrão, obtemos
(y - 3)^2 = 4cdot 2,5 ,l(x - 1,5r) Longrightarrow (y - 3)^2 = 10,(x - 1,5)

Resposta

(y - 3)^2 = 10,(x - 1,5)

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