1. Determine equação da parábola mais próxima ao gráfico y=x^{3}+1 no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede: "Determine a equação da parábola mais próxima ao gráfico y=x^{3}+1 no intervalo [-1,1]".\n
Informações dadas:
  • A função que queremos aproximar é f(x)=x^{3}+1 definida no intervalo [-1,1].
  • Queremos encontrar uma parábola (ou seja, um polinômio de grau no máximo 2) da forma \;p(x)=ax^{2}+bx+c\; que seja “a mais próxima” de f no intervalo [-1,1].
  • O enunciado não especifica a medida de distância; vamos usar a medida padrão de aproximação em problemas desse tipo: minimizar o erro quadrático médio (energia do erro) no intervalo, isto é, minimizar \int_{-1}^{1} (f(x)-p(x))^{2}\,dx.

Passo 2

Por que usamos essa medida e qual é a ideia geral? Vou explicar de forma didática: queremos o polinômio \;p(x)=ax^{2}+bx+c\; que minimiza a função erro
E(a,b,c)=\int_{-1}^{1}\big(f(x)-p(x)\big)^{2}\,dx
onde \;f(x)=x^{3}+1. Essa é a versão contínua do método dos mínimos quadrados: escolhemos a,b,c para tornar pequeno o integral do quadrado do erro. Um princípio muito útil é que o erro residual r(x)=f(x)-p(x) do melhor ajuste é ortogonal, no produto interno \langle g,h\rangle=\int_{-1}^{1} g(x)h(x)\,dx, a todo polinômio de grau ≤ 2. Ou seja,
\langle r,1\rangle=\langle r,x\rangle=\langle r,x^{2}\rangle=0.
Essas três condições geram um sistema linear (as equações normais) para a,b,c. Vou usar esse método porque é direto e prático para esse problema.

Passo 3

Escrevendo explicitamente as condições de ortogonalidade: definindo r(x)=x^{3}+1-(ax^{2}+bx+c), temos as três equações
\int_{-1}^{1} r(x)\,dx=0,
\int_{-1}^{1} x\,r(x)\,dx=0,
\int_{-1}^{1} x^{2}\,r(x)\,dx=0.
Vou calcular cada integral usando propriedades simples de simetria e as fórmulas para integrais de potências.

Passo 4

Lembrete sobre integrais de potências em [-1,1]: para inteiro n,
  • se n é ímpar, \displaystyle \int_{-1}^{1} x^{n}\,dx = 0 (função ímpar sobre intervalo simétrico),
  • se n é par, \displaystyle \int_{-1}^{1} x^{n}\,dx = \frac{2}{n+1}.
    Vou usar isso para calcular todos os termos.

Passo 5

Primeira equação: \displaystyle \int_{-1}^{1} r(x)\,dx=0.
Substituindo r(x):
\int_{-1}^{1}\big(x^{3}+1 - a x^{2} - b x - c\big)\,dx=0.
Calcule termo a termo usando as regras:
\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx = 0,\quad \int_{-1}^{1} 1\,dx = 2,\quad \int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = \frac{2}{3},\quad \int_{-1}^{1} x\,dx=0.
Portanto a equação fica
0 + 2 - a\cdot\frac{2}{3} - b\cdot 0 - c\cdot 2 = 0.
Simplificando:
2 - \frac{2}{3}a - 2c = 0.
Dividindo por 2:
1 - \frac{1}{3}a - c = 0.
Isolando c:
c = 1 - \frac{1}{3}a.

Passo 6

Segunda equação: \displaystyle \int_{-1}^{1} x\,r(x)\,dx=0.
Substituindo:
\int_{-1}^{1} x\big(x^{3}+1 - a x^{2} - b x - c\big)\,dx=0.
Distribuindo e usando simetria:
\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx + \int_{-1}^{1} x\,dx - a\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx - b\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx - c\int_{-1}^{1} x\,dx = 0.
Os termos ímpares desaparecem ( \int x\,dx=0, \int x^{3}\,dx=0, \int x\,dx=0), sobrando
\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx - b\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = 0.
Usando as fórmulas:
\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx = \frac{2}{5},\qquad \int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = \frac{2}{3}.
Portanto
\frac{2}{5} - b\cdot\frac{2}{3} = 0.
Dividindo por 2:
\frac{1}{5} - b\cdot\frac{1}{3} = 0.
Isolando b:
b = \frac{3}{5}.

Passo 7

Terceira equação: \displaystyle \int_{-1}^{1} x^{2}\,r(x)\,dx=0.
Substituindo:
\int_{-1}^{1} x^{2}\big(x^{3}+1 - a x^{2} - b x - c\big)\,dx=0.
Distribuindo:
\int_{-1}^{1} x^{5}\,dx + \int_{-1}^{1} x^{2}\,dx - a\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx - b\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx - c\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = 0.
Novamente os termos ímpares anulam ( \int x^{5}=0, \int x^{3}=0). Ficamos com
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx - a\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx - c\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = 0.
Substituindo os valores:
\frac{2}{3} - a\cdot\frac{2}{5} - c\cdot\frac{2}{3} = 0.
Dividindo por 2:
\frac{1}{3} - a\cdot\frac{1}{5} - c\cdot\frac{1}{3} = 0.
Multiplicando por 15 para eliminar denominadores:
5 - 3a - 5c = 0.

Passo 8

Agora uso a relação entre c e a obtida no Passo 5: c = 1 - \frac{1}{3}a. Substituo na equação do Passo 7:
5 - 3a - 5\Big(1 - \frac{1}{3}a\Big) = 0.
Calculo passo a passo:
5 - 3a - 5 + \frac{5}{3}a = 0.
Os 5 cancelam:
-3a + \frac{5}{3}a = 0.
Coloco em denominador comum:
-\frac{9}{3}a + \frac{5}{3}a = 0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{3}a = 0.
Logo
a = 0.

Passo 9

Com a=0, volto para achar c e b:
  • De c = 1 - \frac{1}{3}a obtemos c = 1 - 0 = 1.
  • Já tínhamos b = \frac{3}{5} do Passo 6.
Portanto o polinômio best-fit de grau ≤ 2 é
p(x)=0\cdot x^{2}+\frac{3}{5}x+1,
ou simplesmente
p(x)=\frac{3}{5}x+1.

Passo 10

Interpretação final (didática e curta): embora buscássemos uma parábola (grau ≤ 2), o melhor ajuste no sentido dos mínimos quadrados sobre [-1,1] ficou sendo um polinômio de grau 1 (coeficiente de x^{2} nulo). Isso acontece porque a componente x^{3} de f(x) é ortogonal a todos os polinômios pares de ordem ≤2 no intervalo simétrico, forçando a=0. O resultado é a reta \;y=\frac{3}{5}x+1\;, que é o melhor ajuste quadrático no sentido L^{2} em [-1,1].

Resposta

y=\dfrac{3}{5}x+1

Exercícios relacionados