- Determine equação da parábola mais próxima ao gráfico
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede: "Determine a equação da parábola mais próxima ao gráfico
no intervalo
".\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função que queremos aproximar é
definida no intervalo . - Queremos encontrar uma parábola (ou seja, um polinômio de grau no máximo 2) da forma
que seja “a mais próxima” de no intervalo . - O enunciado não especifica a medida de distância; vamos usar a medida padrão de aproximação em problemas desse tipo: minimizar o erro quadrático médio (energia do erro) no intervalo, isto é, minimizar
.
Passo 2
Por que usamos essa medida e qual é a ideia geral? Vou explicar de forma didática: queremos o polinômio
que minimiza a função erro
onde
. Essa é a versão contínua do método dos mínimos quadrados: escolhemos
para tornar pequeno o integral do quadrado do erro. Um princípio muito útil é que o erro residual
do melhor ajuste é ortogonal, no produto interno
, a todo polinômio de grau ≤ 2. Ou seja,
Essas três condições geram um sistema linear (as equações normais) para
. Vou usar esse método porque é direto e prático para esse problema.
Passo 3
Escrevendo explicitamente as condições de ortogonalidade: definindo
, temos as três equações
Vou calcular cada integral usando propriedades simples de simetria e as fórmulas para integrais de potências.
Passo 4
Lembrete sobre integrais de potências em
: para inteiro
,
- se
é ímpar, (função ímpar sobre intervalo simétrico), - se
é par, .
Vou usar isso para calcular todos os termos.
Passo 5
Primeira equação:
.
Substituindo :
Substituindo
Calcule termo a termo usando as regras:
Portanto a equação fica
Simplificando:
Dividindo por
:
Isolando
:
Passo 6
Segunda equação:
.
Substituindo:
Substituindo:
Distribuindo e usando simetria:
Os termos ímpares desaparecem (
,
,
), sobrando
Usando as fórmulas:
Portanto
Dividindo por
:
Isolando
:
Passo 7
Terceira equação:
.
Substituindo:
Substituindo:
Distribuindo:
Novamente os termos ímpares anulam (
,
). Ficamos com
Substituindo os valores:
Dividindo por
:
Multiplicando por
para eliminar denominadores:
Passo 8
Agora uso a relação entre
e
obtida no Passo 5:
. Substituo na equação do Passo 7:
Calculo passo a passo:
Os
cancelam:
Coloco em denominador comum:
Logo
Passo 9
Com
, volto para achar
e
:
- De
obtemos . - Já tínhamos
do Passo 6.
Portanto o polinômio best-fit de grau ≤ 2 é
ou simplesmente
Passo 10
Interpretação final (didática e curta): embora buscássemos uma parábola (grau ≤ 2), o melhor ajuste no sentido dos mínimos quadrados sobre
ficou sendo um polinômio de grau 1 (coeficiente de
nulo). Isso acontece porque a componente
de
é ortogonal a todos os polinômios pares de ordem ≤2 no intervalo simétrico, forçando
. O resultado é a reta
, que é o melhor ajuste quadrático no sentido L^{2} em
.