1. Prove que o algoritmo iterativo
y_{k+1}=\ln \left(2+y_{k}\right)

Passo 1

O enunciado dá o algoritmo iterativo
y_{k+1}=\ln\bigl(2+y_k\bigr)
e pede que se prove algo sobre esse algoritmo. Vou entender que a missão é provar que a iteração converge para um ponto fixo (ou seja, existe um y^* tal que y^*=\ln(2+y^*)) e explicar bem por que isso acontece. Informações relevantes do enunciado que vou usar: a função logaritmo exige argumento positivo, logo todos os y_k devem satisfazer 2+y_k>0 (ou seja, y_k>-2). Não há outros dados fornecidos, então assumirei um espaço natural para aplicar o teorema do ponto fixo (um intervalo fechado em que a função é contração).

Passo 2

Defino a função de iteração (mapa)
g(y)=\ln\bigl(2+y\bigr).
Um ponto fixo é uma solução da equação
y=g(y)\quad\Longleftrightarrow\quad y=\ln\bigl(2+y\bigr).
Explico o porquê de procurar um intervalo fechado e convexo onde g seja uma contração: a versão prática e usual é aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach (contração). Ele diz, em palavras simples, que se g é Lipschitz com constante L<1 numa região fechada e g mapeia essa região em si mesma, então existe um único ponto fixo nessa região e a iteração y_{k+1}=g(y_k) converge para esse ponto fixo para qualquer y_0 na região.

Passo 3

Vou mostrar existência de uma raiz da equação y=\ln(2+y) num intervalo explícito. Considere a função auxiliar
h(y)=\ln\bigl(2+y\bigr)-y.
Primeiro vejo valores em pontos simples:
h(1)=\ln 3 - 1 \approx 1{,}0986-1 = 0{,}0986>0,
h(2)=\ln 4 - 2 \approx 1{,}3863-2 = -0{,}6137<0.
Como h é contínua no intervalo [1,2] (composta por \ln que é contínua em ( -2,\infty)), por Bolzano (Teorema do Valor Intermediário) existe pelo menos uma raiz y^*\in(1,2) tal que
h(y^*)=0\quad\Longleftrightarrow\quad y^*=\ln(2+y^*).
Portanto há pelo menos um ponto fixo na abertura (1,2).

Passo 4

Agora mostro unicidade do ponto fixo em (1,2). Calculo a derivada de h:
h'(y)=\frac{1}{2+y}-1.
Para y\ge 1 temos 2+y\ge 3 e então \dfrac{1}{2+y}\le \dfrac{1}{3}<1. Assim, para y\ge 1 tem-se
h'(y)=\frac{1}{2+y}-1<0,
ou seja, h é estritamente decrescente em [1,2]. Como h muda de sinal em [1,2] e é estritamente decrescente, a raiz encontrada é única nesse intervalo. Logo existe exatamente um ponto fixo y^*\in(1,2).

Passo 5

Mostro agora que g mapeia o intervalo [1,2] em si mesmo (invariância), o que é um passo necessário para aplicar Banach. Para y\in[1,2] temos
g(1)=\ln 3\approx 1{,}0986,\qquad g(2)=\ln 4\approx 1{,}3863.
Como \ln 3>1 e \ln 4<2, os valores de g(y) para y\in[1,2] ficam no intervalo [\ln 3,\ln 4]\subset[1,2]. Assim g([1,2])\subset[1,2]: o intervalo é invariante pela aplicação g.

Passo 6

Verifico que g é uma contração em [1,2]. Calculo a derivada de g:
g'(y)=\frac{1}{2+y}.
Para y\in[1,2] temos
0<g'(y)\le g'(1)=\frac{1}{3}.
Logo g é Lipschitz com constante L=\dfrac{1}{3}<1 em [1,2]: para quaisquer u,v\in[1,2],
|g(u)-g(v)|\le L\,|u-v|=\frac{1}{3}|u-v|.
Esta é exatamente a condição de contração.

Passo 7

Aplico o Teorema do Ponto Fixo de Banach: como g é uma contração (constante L=1/3) em um subconjunto completo (fechado) [1,2] de \mathbb{R} e g([1,2])\subset[1,2], existe um único ponto fixo y^* em [1,2] e, para qualquer y_0\in[1,2], a sequência definida por y_{k+1}=g(y_k) converge geometricamente para y^*. Mais precisamente,
|y_k-y^*|\le L^k\,|y_0-y^*|=\left(\frac{1}{3}\right)^k|y_0-y^*|.
Isto dá uma estimativa de erro fácil de usar na prova ou na resolução numérica: o erro decresce geometricamente com razão 1/3.

Passo 8

Resumo prático (como aplicar na prova): verificar domínio ( y>-2), procurar um intervalo fechado [a,b] tal que (i) g([a,b])\subset[a,b] e (ii) \max_{y\in[a,b]}|g'(y)|<1. Aqui escolhemos [1,2]; mostramos invariância e que \max|g'|=1/3. Com isso aplicamos o Teorema de Banach e obtemos existência, unicidade do ponto fixo e convergência da iteração para qualquer y_0\in[1,2]. Se na prova pedirem o valor aproximado do ponto fixo, basta iterar algumas vezes começando em qualquer y_0\in[1,2] (a convergência é rápida por L=1/3).

Resposta

A função g(y)=\ln(2+y) tem um único ponto fixo y^*\in(1,2) (solução de y=\ln(2+y)). Em particular, para qualquer y_0\in[1,2] a sequência y_{k+1}=g(y_k) converge para y^*. Além disso, g é uma contração em [1,2] com constante L=\tfrac{1}{3}, e vale a estimativa de convergência |y_k-y^*|\le (1/3)^k|y_0-y^*|.

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