- Prove que o algoritmo iterativo
Passo 1
O enunciado dá o algoritmo iterativo
e pede que se prove algo sobre esse algoritmo. Vou entender que a missão é provar que a iteração converge para um ponto fixo (ou seja, existe um
tal que
) e explicar bem por que isso acontece. Informações relevantes do enunciado que vou usar: a função logaritmo exige argumento positivo, logo todos os
devem satisfazer
(ou seja,
). Não há outros dados fornecidos, então assumirei um espaço natural para aplicar o teorema do ponto fixo (um intervalo fechado em que a função é contração).
Passo 2
Defino a função de iteração (mapa)
Um ponto fixo é uma solução da equação
Explico o porquê de procurar um intervalo fechado e convexo onde
seja uma contração: a versão prática e usual é aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach (contração). Ele diz, em palavras simples, que se
é Lipschitz com constante
numa região fechada e
mapeia essa região em si mesma, então existe um único ponto fixo nessa região e a iteração
converge para esse ponto fixo para qualquer
na região.
Passo 3
Vou mostrar existência de uma raiz da equação
num intervalo explícito. Considere a função auxiliar
Primeiro vejo valores em pontos simples:
Como
é contínua no intervalo
(composta por
que é contínua em
), por Bolzano (Teorema do Valor Intermediário) existe pelo menos uma raiz
tal que
Portanto há pelo menos um ponto fixo na abertura
.
Passo 4
Agora mostro unicidade do ponto fixo em
. Calculo a derivada de
:
Para
temos
e então
. Assim, para
tem-se
ou seja,
é estritamente decrescente em
. Como
muda de sinal em
e é estritamente decrescente, a raiz encontrada é única nesse intervalo. Logo existe exatamente um ponto fixo
.
Passo 5
Mostro agora que
mapeia o intervalo
em si mesmo (invariância), o que é um passo necessário para aplicar Banach. Para
temos
Como
e
, os valores de
para
ficam no intervalo
. Assim
: o intervalo é invariante pela aplicação
.
Passo 6
Verifico que
é uma contração em
. Calculo a derivada de
:
Para
temos
Logo
é Lipschitz com constante
em
: para quaisquer
,
Esta é exatamente a condição de contração.
Passo 7
Aplico o Teorema do Ponto Fixo de Banach: como
é uma contração (constante
) em um subconjunto completo (fechado)
de
e
, existe um único ponto fixo
em
e, para qualquer
, a sequência definida por
converge geometricamente para
. Mais precisamente,
Isto dá uma estimativa de erro fácil de usar na prova ou na resolução numérica: o erro decresce geometricamente com razão
.
Passo 8
Resumo prático (como aplicar na prova): verificar domínio (
), procurar um intervalo fechado
tal que (i)
e (ii)
. Aqui escolhemos
; mostramos invariância e que
. Com isso aplicamos o Teorema de Banach e obtemos existência, unicidade do ponto fixo e convergência da iteração para qualquer
. Se na prova pedirem o valor aproximado do ponto fixo, basta iterar algumas vezes começando em qualquer
(a convergência é rápida por
).
Resposta
A função
tem um único ponto fixo
(solução de
). Em particular, para qualquer
a sequência
converge para
. Além disso,
é uma contração em
com constante
, e vale a estimativa de convergência
.