Determine a equação da parábola de vértice na origem e:
Passando pelos pontos (3,2) e (3,-2)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a equação de uma parábola cujo vértice está na origem (0,0) e que passa pelos pontos (3,2) e (3,-2).
Informações dadas: os pontos que pertencem à parábola são (3,2) e (3,-2) e o vértice é (0,0). Não há outras condições explícitas.

Passo 2

Vamos pensar nas formas possíveis de parábola com vértice na origem. Há duas formas simples (sem rotação):
y = a x^2
que é uma parábola com eixo vertical (simétrica em relação ao eixo y), e
x = a y^2
que é uma parábola com eixo horizontal (simétrica em relação ao eixo x). Aqui a é um parâmetro real que define a “abertura” e a direção: se a>0 a parábola abre para cima em y=ax^2 ou para a direita em x=ay^2; se a<0 abre para baixo ou para a esquerda, respectivamente.

Passo 3

Observação chave usando os pontos dados: os dois pontos têm a mesma abscissa x=3 e ordenadas opostas y=2 e y=-2. Isso indica simetria em relação ao eixo x (mesmo x para y e -y). Logo a parábola deve ser simétrica em relação ao eixo x, ou seja, seu eixo é o eixo x (horizontal). Portanto a forma adequada é
x = a y^2,
pois essa forma é simétrica em y\mapsto -y (depende de y^2) e tem vértice na origem quando não há termos lineares.

Passo 4

Agora usamos um dos pontos para encontrar a. Pegamos o ponto (3,2). Substituindo em \displaystyle x = a y^2 temos:
3 = a \cdot 2^2.
Expliquei cada parte: o 3 é a coordenada x do ponto, o 2 é a coordenada y; elevamos 2 ao quadrado porque a equação tem y^2.

Passo 5

Resolvendo a igualdade:
3 = a \cdot 4 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{3}{4}.
Mostrei o passo de isolar a: dividir ambos os lados por 4.

Passo 6

Verificação com o outro ponto (3,-2): na forma x = a y^2 o sinal de y não importa porque aparece ao quadrado. Substituindo y=-2 com a=\tfrac{3}{4}:
x = \frac{3}{4}\cdot(-2)^2 = \frac{3}{4}\cdot 4 = 3,
portanto o ponto (3,-2) também pertence à parábola — ótima consistência.

Passo 7

Escrevendo a equação final. Podemos deixá-la em duas formas equivalentes úteis:
forma "parábola ao longo de x":
x = \frac{3}{4}\,y^2,
ou isolando y^2 na forma clássica y^2 = 4p x:
y^2 = \frac{4}{3}\,x.
Observação rápida: como a=\tfrac{3}{4}>0 a parábola abre para a direita.

Resposta

x = \dfrac{3}{4}\,y^2
y^2 = \dfrac{4}{3}\,x

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