Determine a equação da parábola de vértice na origem e:
Passando pelos pontos
e
Passando pelos pontos
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a equação de uma parábola cujo vértice está na origem
e que passa pelos pontos
e
.
Informações dadas: os pontos que pertencem à parábola são e
e o vértice é
. Não há outras condições explícitas.
Informações dadas: os pontos que pertencem à parábola são
Passo 2
Vamos pensar nas formas possíveis de parábola com vértice na origem. Há duas formas simples (sem rotação):
que é uma parábola com eixo vertical (simétrica em relação ao eixo
), e
que é uma parábola com eixo horizontal (simétrica em relação ao eixo
). Aqui
é um parâmetro real que define a “abertura” e a direção: se
a parábola abre para cima em
ou para a direita em
; se
abre para baixo ou para a esquerda, respectivamente.
Passo 3
Observação chave usando os pontos dados: os dois pontos têm a mesma abscissa
e ordenadas opostas
e
. Isso indica simetria em relação ao eixo
(mesmo
para
e
). Logo a parábola deve ser simétrica em relação ao eixo
, ou seja, seu eixo é o eixo
(horizontal). Portanto a forma adequada é
pois essa forma é simétrica em
(depende de
) e tem vértice na origem quando não há termos lineares.
Passo 4
Agora usamos um dos pontos para encontrar
. Pegamos o ponto
. Substituindo em
temos:
Expliquei cada parte: o
é a coordenada
do ponto, o
é a coordenada
; elevamos
ao quadrado porque a equação tem
.
Passo 5
Resolvendo a igualdade:
Mostrei o passo de isolar
: dividir ambos os lados por
.
Passo 6
Verificação com o outro ponto
: na forma
o sinal de
não importa porque aparece ao quadrado. Substituindo
com
:
portanto o ponto
também pertence à parábola — ótima consistência.
Passo 7
Escrevendo a equação final. Podemos deixá-la em duas formas equivalentes úteis:
forma "parábola ao longo de ":
forma "parábola ao longo de
ou isolando
na forma clássica
:
Observação rápida: como
a parábola abre para a direita.