(1,0 ponto) Determine um ponto do eixo das ordenadas equidistante de \mathrm{M}=(1,1,-1) e N =(2,-2,3).

Cálculos:

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um ponto do eixo das ordenadas que seja equidistante dos pontos \mathrm{M}=(1,1,-1) e \mathrm{N}=(2,-2,3).\n
Informações dadas:
  • \mathrm{M}=(1,1,-1).
  • \mathrm{N}=(2,-2,3).
  • O ponto procurado está no eixo das ordenadas (eixo y em \mathbb{R}^3), logo tem coordenadas da forma P=(0,y,0), com y desconhecido.
  • Queremos P tal que a distância de P a M seja igual à distância de P a N.

Passo 2

Vamos usar a fórmula da distância no espaço tridimensional. Para dois pontos A=(x_1,y_1,z_1) e B=(x_2,y_2,z_2), a distância entre eles é
d(A,B)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}.
Explicando: cada termo (x_1-x_2)^2, (y_1-y_2)^2, (z_1-z_2)^2 é o quadrado da diferença nas coordenadas; somando e extraindo raiz obtemos a distância euclidiana. Aqui usaremos as distâncias ao quadrado para evitar raízes (isto é válido porque a função t\mapsto t^2 é estritamente crescente para t\ge0, e as distâncias são não-negativas).

Passo 3

Calculemos a distância ao quadrado entre P=(0,y,0) e M=(1,1,-1). Aplicando a fórmula sem a raiz:
d(P,M)^2=(0-1)^2+(y-1)^2+(0-(-1))^2.
Agora simplifico termo a termo:
(0-1)^2=1,\qquad (0-(-1))^2=1,
logo
d(P,M)^2=1+(y-1)^2+1=2+(y-1)^2.

Passo 4

Calculemos a distância ao quadrado entre P=(0,y,0) e N=(2,-2,3):
d(P,N)^2=(0-2)^2+(y-(-2))^2+(0-3)^2.
Simplificando termos:
(0-2)^2=4,\qquad (0-3)^2=9,
então
d(P,N)^2=4+(y+2)^2+9=13+(y+2)^2.

Passo 5

Queremos P equidistante de M e N, portanto
d(P,M)=d(P,N).
Elevando ao quadrado (válido porque ambas distâncias são \ge0) obtemos a equação
d(P,M)^2=d(P,N)^2.
Substituindo as expressões obtidas:
2+(y-1)^2 = 13+(y+2)^2.

Passo 6

Agora resolvemos a equação para y. Primeiro expandimos os quadrados:
(y-1)^2 = y^2-2y+1, \qquad (y+2)^2 = y^2+4y+4.
Substituindo em 2+(y-1)^2 = 13+(y+2)^2 temos
2 + (y^2-2y+1) = 13 + (y^2+4y+4).
Somando termos constantes no lado esquerdo: 2+1=3, e no direito 13+4=17, então
y^2 - 2y + 3 = y^2 + 4y + 17.
Agora cancelamos y^2 dos dois lados (eles aparecem em ambos), ficando uma equação linear:
-2y + 3 = 4y + 17.
Passamos os termos com y para um lado e constantes para o outro:
-2y - 4y = 17 - 3,
ou seja
-6y = 14.
Dividindo por -6:
y = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}.

Passo 7

Portanto o ponto procurado no eixo das ordenadas é
P=\left(0,-\tfrac{7}{3},0\right).
Vamos checar rapidamente substituindo em d(P,M)^2 e d(P,N)^2. Para y=-\tfrac{7}{3}:
d(P,M)^2 = 2+(y-1)^2 = 2+\left(-\tfrac{7}{3}-1\right)^2 = 2+\left(-\tfrac{10}{3}\right)^2 = 2+\tfrac{100}{9}=\tfrac{118}{9},
d(P,N)^2 = 13+(y+2)^2 = 13+\left(-\tfrac{7}{3}+2\right)^2 = 13+\left(-\tfrac{1}{3}\right)^2 = 13+\tfrac{1}{9}=\tfrac{118}{9}.
As distâncias ao quadrado coincidem, logo as distâncias coincidem — checagem concluída.

Resposta

\displaystyle \left(0,-\tfrac{7}{3},0\right)

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