(1,0 ponto) Determine um ponto do eixo das ordenadas equidistante de
e N
.
Cálculos:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um ponto do eixo das ordenadas que seja equidistante dos pontos
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
-
. -
. - O ponto procurado está no eixo das ordenadas (eixo
em ), logo tem coordenadas da forma , com desconhecido. - Queremos
tal que a distância de a seja igual à distância de a .
Passo 2
Vamos usar a fórmula da distância no espaço tridimensional. Para dois pontos
e
, a distância entre eles é
Explicando: cada termo
,
,
é o quadrado da diferença nas coordenadas; somando e extraindo raiz obtemos a distância euclidiana. Aqui usaremos as distâncias ao quadrado para evitar raízes (isto é válido porque a função
é estritamente crescente para
, e as distâncias são não-negativas).
Passo 3
Calculemos a distância ao quadrado entre
e
. Aplicando a fórmula sem a raiz:
Agora simplifico termo a termo:
logo
Passo 4
Calculemos a distância ao quadrado entre
e
:
Simplificando termos:
então
Passo 5
Queremos
equidistante de
e
, portanto
Elevando ao quadrado (válido porque ambas distâncias são
) obtemos a equação
Substituindo as expressões obtidas:
Passo 6
Agora resolvemos a equação para
. Primeiro expandimos os quadrados:
Substituindo em
temos
Somando termos constantes no lado esquerdo:
, e no direito
, então
Agora cancelamos
dos dois lados (eles aparecem em ambos), ficando uma equação linear:
Passamos os termos com
para um lado e constantes para o outro:
ou seja
Dividindo por
:
Passo 7
Portanto o ponto procurado no eixo das ordenadas é
Vamos checar rapidamente substituindo em
e
. Para
:
As distâncias ao quadrado coincidem, logo as distâncias coincidem — checagem concluída.