Determine uma equação paramétrica do plano que tem equação geral x+2 y- z-5=0

Passo 1

O enunciado pede uma equação paramétrica do plano cuja equação geral é x + 2y - z - 5 = 0. Aqui o conteúdo é representação paramétrica de um plano: precisamos de um ponto que pertença ao plano e de dois vetores diretores (ortogonais ao vetor normal do plano).

Passo 2

Identificamos o vetor normal do plano diretamente da equação geral. Da forma
x + 2y - z - 5 = 0
o vetor normal é
n = (1,,2,,-1)

Passo 3

Para obter um ponto qualquer do plano, basta atribuir valores a duas variáveis e resolver a terceira. Por exemplo, tomando x=0 e y=0, da equação do plano segue
0 + 2cdot 0 - z - 5 = 0 Longrightarrow z = -5
Logo um ponto no plano é P0 = (0,0,-5).

Passo 4

Devemos encontrar dois vetores diretores u e v ortogonais ao normal n. Por exemplo:
  • Escolhendo u = (1,0,1), verifica-se
    ncdotu = 1cdot1 + 2cdot0 + (-1)cdot1 = 0.
  • Escolhendo v = (0,1,2), verifica-se
    ncdotv = 1cdot0 + 2cdot1 + (-1)cdot2 = 0.

Passo 5

A equação paramétrica do plano é então dada por
(x,y,z) = (0,0,-5) + s,(1,0,1) + t,(0,1,2), s,tinR,
o que equivale ao sistema
x = s, y = t, z = -5 + s + 2t

Resposta

Uma forma de escrever a parametrização é
x = s, y = t, z = s + 2t - 5, s,tinR

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