Um plano tem equação paramétrica dada por: x=1+t, y=2-2 t+k, z= 3+k. Escreva uma equação vetorial do plano.

Passo 1

O enunciado fornece as equações paramétricas
x = 1 + t, y = 2 - 2t + k, z = 3 + k
com parâmetros t e k. Queremos escrever isso na forma de equação vetorial de um plano, ou seja
r = r0 + t,v1 + k,v2.

Passo 2

Para encontrar um ponto qualquer r0 do plano, basta atribuir t=0 e k=0 nas equações paramétricas. Assim
x=1, y=2, z=3
e o ponto é
r0 = 123.

Passo 3

Os vetores diretores do plano correspondem às variações em t e em k:
  • derivando em relação a t (fixando k), obtemos
    v1 = l(1,,-2,,0r);
  • derivando em relação a k (fixando t), obtemos
    v2 = l(0,,1,,1r).

Passo 4

Portanto, a equação vetorial genérica do plano é
r = r0 + t,v1 + k,v2,
onde r0, v1 e v2 foram definidos acima.

Resposta

r = 123 + t,1-20 + k,011

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