Determine uma equação do plano pi, em cada caso:
pi contém reta rlx=1+m y=3+2 m z=7+m e o ponto $P=(2,4,-1);

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano pi que contém a reta
r: x=1+m, y=3+2m, z=7+m
e o ponto P=(2,4,-1). Para resolver, vamos usar representação paramétrica de reta, vetores diretores, produto vetorial para achar o vetor normal ao plano e a forma geral da equação do plano.

Passo 2

Escolhemos m=0 para obter um ponto A na reta r:
A=(1,3,7)
O vetor diretor de r é
vec v=(1,2,1)
O vetor que liga A ao ponto P é
AP=P-A=(2-1,;4-3,;-1-7)=(1,1,-8)

Passo 3

O vetor normal vec n ao plano é dado por vec vtimesAP. Usando a fórmula
vec vtimesAP =(v2w3 - v3w2,;v3w1 - v1w3,;v1w2 - v2w1),
com (v1,v2,v3)=(1,2,1) e (w1,w2,w3)=(1,1,-8), obtemos
vec vtimesAP =(2cdot(-8)-1cdot1,;1cdot1-1cdot(-8),;1cdot1-2cdot1) =(-17,;9,;-1)
Podemos escolher vec n=(17,-9,1) (multiplicando por -1).

Passo 4

A equação geral do plano com normal vec n=(17,-9,1) que passa por A=(1,3,7) é
17(x-1)-9(y-3)+1(z-7)=0
Expandindo,
17x-17-9y+27+z-7=0 Longrightarrow 17x-9y+z+3=0

Resposta

17x -9y + z +3 = 0

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