Determine uma equação do plano pi, em cada caso:
pi contém as retas paralelas: r=x-12=y=z-1 e slx=1+4 m y=2+2 m z=2+2 m

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano pi que contém duas retas paralelas r e s.
Conteúdo: geometria vetorial no espaço. Vamos precisar
  • de um ponto em cada reta,
  • dos vetores diretores dessas retas,
  • de um vetor normal ao plano, obtido pelo produto vetorial,
  • e da forma cartesiana do plano ncdot((x,y,z)-P)=0.

Passo 2

Escrevemos r em forma parametrizada. Da equação
x-12=y=z-1,
tomamos t=x-12=y=z-1, então
r(t):(x,y,z)=(1+2t,;t,;1+t)
Um ponto em r é
A = r(0) = (1,0,1),
e o vetor diretor é
dr = (2,1,1)

Passo 3

Para s já temos a parametrização
s(m):(x,y,z)=(1+4m,;2+2m,;2+2m)
Um ponto em s é
B = s(0) = (1,2,2),
e o vetor diretor é
ds = (4,2,2)

Passo 4

Verificamos que ds = 2,dr, ou seja, as retas são paralelas. Como elas são distintas, o plano pi existe e é gerado por dr e pelo vetor de ligação AB.

Passo 5

Calculamos o vetor que liga A a B:
AB = B - A = (1,2,2) - (1,0,1) = (0,2,1)

Passo 6

O vetor normal n do plano é o produto vetorial
n = dr times AB = (2,1,1)times(0,2,1)
Em forma de determinante:
n = i & j & k [6pt] 2 & 1 & 1 [2pt] 0 & 2 & 1 = l(1cdot1 - 1cdot2,;-(2cdot1 - 1cdot0),;2cdot2 - 1cdot0r) = (-1,-2,4)
Podemos usar n=(1,2,-4), multiplicando por -1.]

Passo 7

A equação cartesiana do plano usando o ponto A=(1,0,1) e n=(1,2,-4) é
1,(x-1)+2,(y-0)-4,(z-1)=0
Expandindo:
x-1 +2y -4z +4 = 0 Longrightarrow x +2y -4z +3 = 0

Resposta

A equação do plano pi é
boxedx + 2y - 4z + 3 = 0

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