Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dada por
z=\ln \left(y^{2}-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio de z = \ln\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr) e sua representação no plano xy. O conteúdo principal é entender a restrição do logaritmo, que exige argumento estritamente positivo.

Passo 2

Para que a função esteja bem-definida, precisamos de
y^{2}-x^{2} > 0.

Passo 3

Reescrevendo a diferença de quadrados, temos
y^{2}-x^{2} = (y - x)(y + x),
logo a condição vira
(y - x)(y + x) > 0.

Passo 4

Uma desigualdade de produto é positiva quando ambos os fatores são positivos ou ambos são negativos. Assim:
  1. Caso ambos positivos:
\begin{cases} y - x > 0,\\\ y + x > 0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} y > x,\\\ y > -x \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad y > \lvert x\rvert.
  1. Caso ambos negativos:
\begin{cases} y - x < 0,\\\ y + x < 0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} y < x,\\\ y < -x \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad y < -\lvert x\rvert.

Passo 5

Portanto o domínio D é a união dessas duas regiões abertas:
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y > \lvert x\rvert\}\;\cup\;\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y < -\lvert x\rvert\}.

Passo 6

Para representar graficamente:
– Trace as retas de fronteira y = x e y = -x com linha tracejada (elas não pertencem ao domínio).
– Sombree as regiões onde y > \lvert x\rvert (acima do “V” formado pelas retas) e onde y < -\lvert x\rvert (abaixo do “V” invertido).

Resposta

O domínio é
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y > \lvert x\rvert\}\;\cup\;\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y < -\lvert x\rvert\},
ou seja, os dois “cones” abertos no plano delimitados pelas retas y=x e y=-x.

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