2 Determine a equação do plano que contém os pontos P=(1,1,-1) e Q=(2,1,1) e dista uma unidade da reta r:[x, y, z]=[1+t, 0,2+2 t], t in R.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que passa pelos pontos P=(1,1,-1) e Q=(2,1,1) e cuja distância à reta
r:;(x,y,z)=(1+t,;0,;2+2t),;tinR
é igual a 1.
Conteúdo: equação de um plano em R^3, condição de paralelismo entre reta e plano e fórmula da distância de um ponto ao plano.

Passo 2

Para que a distância de uma reta a um plano seja não nula, a reta deve ser paralela ao plano. O vetor diretor de r é
vr=(1,0,2)
Como o plano deve conter P e Q, o vetor
PQ=Q-P=(2-1,;1-1,;1-(-1))=(1,0,2)
também está no plano. Note que PQ=vr, logo o plano já contém uma reta paralela a r e, portanto, é paralelo a r.

Passo 3

Seja n=(a,b,c) o vetor normal ao plano. A condição de paralelismo entre plano e reta impõe
ncdotvr=0 Longrightarrow a+2c=0 Longrightarrow a=-2c
Assim o vetor normal tem a forma
n=(-2c,;b,;c) = alpha,(-2,0,1)+beta,(0,1,0)
Para simplificar, escrevamos
n=(-2alpha,;beta,;alpha)

Passo 4

Escolhemos um ponto A qualquer da reta r, por exemplo A=(1,0,2). Como o plano é paralelo a r, a distância entre r e o plano é a distância de A ao plano. Seja
d=A-P=(1-1,;0-1,;2-(-1))=(0,-1,3)
A condição dist(A,plano)=1
l|ncdotdr||n|=1 ;Long<=ftrightarrow; (ncdotd)^2=|n|^2
Compute
ncdotd=(-2alpha),0+beta,(-1)+alpha,3=-beta+3alpha, |n|^2=(-2alpha)^2+beta^2+alpha^2=5alpha^2+beta^2
Então
(-beta+3alpha)^2=5alpha^2+beta^2 ;Longrightarrow; 4alpha^2-6alphabeta=0 ;Longrightarrow; alpha(2alpha-3beta)=0

Passo 5

Da equação acima surgem duas possibilidades:
  1. alpha=0.
    Nesse caso n=(0,beta,0), e podemos tomar beta=1 para simplificar:
    n=(0,1,0). O plano é
    0,(x-1)+1,(y-1)+0,(z+1)=0 Longrightarrow y=1
    Verificamos que P e Q têm y=1 e que a reta r (onde y=0) está a uma unidade desse plano.
  2. 2alpha-3beta=0.
    Então beta=tfrac23alpha. Escolhendo alpha=3 beta=2 e
    n=(-6,2,3). A equação do plano que passa por P é
    -6(x-1)+2(y-1)+3(z+1)=0 ;Longrightarrow; 6x-2y-3z-7=0
    Confirma-se que P e Q satisfazem essa equação e que, para um ponto da reta r, a distância é
    l|6cdot1-2cdot0-3cdot2-7r|/raiz6^2+(-2)^2+(-3)^2=7/7=1.

Resposta

As duas soluções são:
boxedy=1 e boxed6x-2y-3z-7=0

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