2 Determine a equação do plano que contém os pontos
e
e dista uma unidade da reta
.
Passo 1
O enunciado pede a equação de um plano que passa pelos pontos
e
e cuja distância à reta
é igual a
.
Conteúdo: equação de um plano em , condição de paralelismo entre reta e plano e fórmula da distância de um ponto ao plano.
Conteúdo: equação de um plano em
Passo 2
Para que a distância de uma reta a um plano seja não nula, a reta deve ser paralela ao plano. O vetor diretor de
é
Como o plano deve conter
e
, o vetor
também está no plano. Note que
PQ=vr , logo o plano já contém uma reta paralela a
r e, portanto, é paralelo a
r .
Passo 3
Seja
n=(a,b,c) o vetor normal ao plano. A condição de paralelismo entre plano e reta impõe
Assim o vetor normal tem a forma
Para simplificar, escrevamos
Passo 4
Escolhemos um ponto
A qualquer da reta
r , por exemplo
A=(1,0,2) . Como o plano é paralelo a
r , a distância entre
r e o plano é a distância de
A ao plano. Seja
A condição
dist(A,plano)=1 dá
Compute
Então
Passo 5
Da equação acima surgem duas possibilidades:
-
.alpha=0
Nesse caso , e podemos tomarn=(0,beta,0) para simplificar:beta=1
. O plano én=(0,1,0) 0,(x-1)+1,(y-1)+0,(z+1)=0 Longrightarrow y=1 Verificamos que eP têmQ e que a retay=1 (onder ) está a uma unidade desse plano.y=0 -
.2alpha-3beta=0
Então . Escolhendobeta=tfrac23alpha dáalpha=3 ebeta=2
. A equação do plano que passa porn=(-6,2,3) éP -6(x-1)+2(y-1)+3(z+1)=0 ;Longrightarrow; 6x-2y-3z-7=0 Confirma-se que eP satisfazem essa equação e que, para um ponto da retaQ , a distância ér
.l|6cdot1-2cdot0-3cdot2-7r|/raiz6^2+(-2)^2+(-3)^2=7/7=1
Resposta
As duas soluções são: