1. Mostre que C^n[a, b] é um subespaço de C[a, b].

Passo 1

O enunciado define
C[a,b] como o espaço de todas as funções contínuas em [a,b]
e
C^n[a,b] como o conjunto das funções que possuem todas as derivadas até a ordem n contínuas em [a,b].
Para mostrar que C^n[a,b] é um subespaço de C[a,b], basta verificar que
  1. C^n[a,b] não é vazio,
  2. é fechado sob soma de funções,
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos primeiro que C^n[a,b]subset C[a,b].
De fato, se fin C^n[a,b] então, por definição, f é contínua em [a,b] (pois a derivada de ordem zero, que é f própria, é contínua). Logo qualquer fin C^n[a,b] pertence também a C[a,b].

Passo 3

Verificamos que C^n[a,b] não é vazio exibindo o elemento zero:
defina f0(x)=0 para todo xin[a,b].
Então f0^(k)(x)=0 é contínua para toda ordem k<= n, logo f0in C^n[a,b].

Passo 4

Fechamento sob soma: sejam f,gin C^n[a,b]. Então para todo kin0,1,dots,n vale
(f+g)^(k) ;=; f^(k) + g^(k),
e soma de funções contínuas é contínua. Logo f+gin C^n[a,b].

Passo 5

Fechamento sob multiplicação escalar: seja alphainR e fin C^n[a,b]. Então para todo k<= n
(alpha f)^(k) ;=; alpha,f^(k),
e como alpha é constante e f^(k) é contínua, temos alpha f^(k) contínua. Logo alpha fin C^n[a,b].

Resposta

Como C^n[a,b] é não vazio, está contido em C[a,b] e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que C^n[a,b] é subespaço de C[a,b].

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