- Mostre que
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado define
como o espaço de todas as funções contínuas em
e
como o conjunto das funções que possuem todas as derivadas até a ordem
contínuas em
.
Para mostrar que é um subespaço de
, basta verificar que
e
Para mostrar que
-
não é vazio, - é fechado sob soma de funções,
- é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos primeiro que
.
De fato, se então, por definição,
é contínua em
(pois a derivada de ordem zero, que é
própria, é contínua). Logo qualquer
pertence também a
.
De fato, se
Passo 3
Verificamos que
não é vazio exibindo o elemento zero:
defina para todo
.
Então é contínua para toda ordem
, logo
.
defina
Então
Passo 4
Fechamento sob soma: sejam
. Então para todo
vale
e soma de funções contínuas é contínua. Logo
.
Passo 5
Fechamento sob multiplicação escalar: seja
e
. Então para todo
e como
é constante e
é contínua, temos
contínua. Logo
.
Resposta
Como
é não vazio, está contido em
e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é subespaço de
.