Determine a equação do plano que contém os pontos
\mathrm{A}=(1,2,-3), \mathrm{B}=(-1,0,4), \mathrm{C}=(2,3,5)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação do plano que contém os pontos
\mathrm{A}=(1,2,-3), \mathrm{B}=(-1,0,4) e \mathrm{C}=(2,3,5).
Informações relevantes dadas: as coordenadas de \mathrm{A}, \mathrm{B} e \mathrm{C}. A tarefa é encontrar uma equação do tipo do plano em \mathbb{R}^3 que passe por esses três pontos.

Passo 2

Primeiro precisamos de dois vetores que estejam no plano — basta formar vetores entre os pontos. O vetor que vai de \mathrm{A} para \mathrm{B} é dado por \overrightarrow{AB}=\mathrm{B}-\mathrm{A} (subtração coordenada a coordenada). Calculamos:
\overrightarrow{AB}=(-1-1,\;0-2,\;4-(-3)) = (-2,\,-2,\;7).
O vetor que vai de \mathrm{A} para \mathrm{C} é \overrightarrow{AC}=\mathrm{C}-\mathrm{A}. Calculamos:
\overrightarrow{AC}=(2-1,\;3-2,\;5-(-3)) = (1,\;1,\;8).
Esses dois vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} estão no plano porque unem pontos do plano.

Passo 3

Para obter a reta normal ao plano (vetor normal), usamos o produto vetorial (cross product) de \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. O produto vetorial de dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) é
(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1),
que gera um vetor perpendicular a ambos. Aplicando a fórmula com \overrightarrow{AB}=(-2,-2,7) e \overrightarrow{AC}=(1,1,8):
\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \big((-2)\cdot 8 - 7\cdot 1,\;7\cdot 1 - (-2)\cdot 8,\;(-2)\cdot 1 - (-2)\cdot 1\big).
Agora calculamos cada componente:
\overrightarrow{n}=(-16-7,\;7+16,\;-2+2)=(-23,\;23,\;0).
Este vetor \overrightarrow{n}=(-23,23,0) é normal ao plano. Podemos simplificá-lo dividindo por 23 (qualquer múltiplo não-nulo dá a mesma direção normal), ficando \overrightarrow{n}=(-1,1,0). Aqui \overrightarrow{n}=(n_x,n_y,n_z) representa os coeficientes da equação do plano.

Passo 4

A equação cartesiana do plano usando um vetor normal \overrightarrow{n}=(n_x,n_y,n_z) e um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) do plano é obtida por
\overrightarrow{n}\cdot\big((x,y,z)-P_0\big)=0,
onde \cdot é o produto escalar (dot product). O produto escalar de (n_x,n_y,n_z) por (x-x_0,y-y_0,z-z_0) é
n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)+n_z(z-z_0)=0.
Usando \overrightarrow{n}=(-1,1,0) e o ponto \mathrm{A}=(1,2,-3) como P_0, temos:
-1\cdot(x-1)+1\cdot(y-2)+0\cdot(z+3)=0.
Simplificando:
-(x-1)+(y-2)=0,
-x+1+y-2=0,
-x+y-1=0.
Multiplicando por -1 (operação válida e que deixa a mesma reta/plane), obtemos a forma mais bonita:
x - y + 1 = 0.

Passo 5

Conferência rápida: verificar que os três pontos satisfazem a equação \;x-y+1=0\;.
  • Para \mathrm{A}=(1,2,-3): 1-2+1=0. OK.
  • Para \mathrm{B}=(-1,0,4): -1-0+1=0. OK.
  • Para \mathrm{C}=(2,3,5): 2-3+1=0. OK.
    Todos os pontos pertencem ao plano com equação encontrada, então está correto. Boa!

Resposta

x - y + 1 = 0

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