Determine a equação do plano \gamma que projeta ortogonalmente a reta r de equação
\left\{\begin{array}{l} 2 x-y+z-3=0 \\\ x+3 y+z+1=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a reta r como interseção de duas planícies:
\left\{\begin{array}{l} 2x-y+z-3=0,\\[4pt] x+3y+z+1=0. \end{array}\right.
A pergunta é: determinar a equação do plano \gamma que projeta ortogonalmente a reta r.
Informações relevantes fornecidas: as duas equações acima (ou seja, os vetores normais dessas duas planícies).
(O enunciado pede a equação do plano \gamma; a resolução começa identificando direção da reta e um ponto da reta.)]

Passo 2

Encontrar a direção da reta r.
Cada uma das duas equações dá um vetor normal à respetiva planície. Vou chamar
\mathbf{n}_1=(2,-1,1)
e
\mathbf{n}_2=(1,3,1).
A direção \mathbf{v} da reta r é dada pelo produto vetorial \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 (porque a reta é a interseção das duas planícies, logo sua direção é ortogonal a ambos os normais). Vou calcular esse produto vetorial usando a regra do determinante:
\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}.
Computando componente a componente:
\begin{aligned} v_x &= (-1)\cdot 1 - 1\cdot 3 = -1-3 = -4,\\[4pt] v_y &= -\big(2\cdot 1 - 1\cdot 1\big) = -(2-1) = -1,\\[4pt] v_z &= 2\cdot 3 - (-1)\cdot 1 = 6+1 = 7. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{v}=(-4,-1,7).]

Passo 3

Encontrar um ponto qualquer que pertença à reta r.
Para isso resolvo o sistema das duas equações, tratando uma variável como parâmetro. Vou usar y=t. Da primeira equação,
2x - y + z -3 = 0 \implies z = 3 -2x + y.
Substituo na segunda equação:
x + 3y + (3-2x+y) +1 = 0.
Simplificando:
x + 3y +3 -2x + y +1 =0 \implies -x +4y +4 =0 \implies x = 4y +4.
Com y=t temos
x = 4t+4,\qquad z = 3 -2(4t+4) + t = 3 -8t -8 + t = -7t -5.
Escolho o parâmetro t=0 para obter um ponto simples sobre r:
P_0=(x,y,z)=(4,0,-5).
Verificação rápida: substituindo em cada equação inicial dá 0, logo P_0\in r.

Passo 4

Interpretação geométrica necessária (aula curta): o que significa "plano que projeta ortogonalmente a reta r"?
Uma interpretação natural (e comum) é procurar um plano \gamma que seja perpendicular à reta r. Por quê? Se um plano é perpendicular a uma reta, então a projeção ortogonal de todos os pontos da reta sobre esse plano coincide num único ponto (o pé da perpendicular) — isto é uma maneira natural de ler “projeta ortogonalmente a reta”.
Geométrica e algebricamente, um plano é perpendicular à reta r quando o vetor normal do plano é paralelo à direção \mathbf{v} da reta. Portanto o vetor \mathbf{v}=(-4,-1,7) pode servir como normal de \gamma.

Passo 5

Escrever a equação geral dos planos cuja normal é \mathbf{v}.
Se um plano tem vetor normal \mathbf{n}=\mathbf{v}=(-4,-1,7), sua equação geral tem a forma
-4x - y + 7z + D = 0,
onde D é uma constante real arbitrária. Essa é a família de todos os planos perpendiculares à reta r. Cada valor de D dá um plano diferente; todos esses planos são perpendiculars a r.

Passo 6

Escolher um plano concreto (único) da família: o plano perpendicular a r que passa por um ponto de r.
Uma escolha natural é o plano perpendicular a r que passa por P_0=(4,0,-5) (que encontramos no Passo 3). Para impor que o plano passe por P_0 calculamos D usando a condição de que P_0 satisfaz a equação do plano:
-4\cdot 4 -1\cdot 0 + 7\cdot(-5) + D = 0.
Calculando:
-16 + 0 -35 + D = 0 \implies D = 51.
Logo o plano pedido (o plano perpendicular a r que contém o ponto P_0 de r) tem equação
-4x - y + 7z + 51 = 0.
Multiplicando por -1 para deixar coeficiente principal positivo, uma forma mais habitual é
4x + y -7z -51 = 0.

Resposta

4x + y - 7z - 51 = 0

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