Determine o plano que contém a reta s=\left\{\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{1}\right\} e o ponto A=(1,1,1). resp.: 3 x-4 y+6 z-5=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar o plano que contém a reta s=\left\{\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{1}\right\} e o ponto A=(1,1,1). Informações dadas e úteis:
  • Equação simétrica da reta s.
  • Ponto A com coordenadas A=(1,1,1).
    Não vamos resolver ainda; apenas anotamos o que temos para usar nos passos seguintes.

Passo 2

Vamos transformar a equação simétrica da reta s em forma paramétrica para extrair um ponto da reta e o vetor diretor. Igualamos todas as frações a um parâmetro t:
\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{1}=t.
Daí obtemos as equações paramétricas da reta:
x=3+2t,\qquad y=1+3t,\qquad z=0+1t.
Escolhendo t=0 encontramos um ponto da reta:
P=(3,1,0).
O vetor diretor da reta (coeficientes de t) é
\vec{v}=(2,3,1).

Passo 3

Estratégia para encontrar o plano: um plano pode ser determinado por um ponto e um vetor normal \vec{n} perpendicular a ele. Se o plano contém a reta s então ele contém o vetor diretor \vec{v} e também contém o segmento que liga qualquer ponto da reta P ao ponto dado A. Assim, temos dois vetores no plano: \vec{v} e \overrightarrow{PA}. O produto vetorial desses dois vetores dará um vetor normal \vec{n} ao plano. Vou calcular \overrightarrow{PA} e depois o produto vetorial.

Passo 4

Calculando o vetor que liga P a A:
\overrightarrow{PA}=A-P=(1-3,\;1-1,\;1-0)=(-2,0,1).
Escrevendo de forma vetorial:
\overrightarrow{PA}=(-2,0,1).

Passo 5

Agora calculamos o produto vetorial \vec{n}=\overrightarrow{PA}\times\vec{v}. Usamos a fórmula de determinante:
\vec{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] -2 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\vec{n}=\mathbf{i}(0\cdot1-1\cdot3)-\mathbf{j}(-2\cdot1-1\cdot2)+\mathbf{k}(-2\cdot3-0\cdot2).
Calculando cada componente:
\vec{n}=\mathbf{i}(0-3)-\mathbf{j}(-2-2)+\mathbf{k}(-6-0),
\vec{n}=(-3,\;4,\;-6).
Podemos multiplicar por -1 para ficar com coeficientes positivos mais simpáticos:
\vec{n}=(3,-4,6).
Esse é um vetor normal ao plano procurado.]

Passo 6

Equação do plano com vetor normal \vec{n}=(3,-4,6) que passa pelo ponto A=(1,1,1): a forma ponto-normal é
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.
Escrevendo:
(3,-4,6)\cdot(x-1,\;y-1,\;z-1)=0.
Fazendo o produto escalar:
3(x-1)-4(y-1)+6(z-1)=0.
Distribuindo:
3x-3-4y+4+6z-6=0.
Somando os termos constantes:
3x-4y+6z-5=0.

Passo 7

Verificação rápida (controle): substituir P=(3,1,0) e A=(1,1,1) na equação para garantir que ambos pertencem ao plano.
Para A: 3\cdot1-4\cdot1+6\cdot1-5=3-4+6-5=0. OK.
Para P: 3\cdot3-4\cdot1+6\cdot0-5=9-4-5=0. OK.
Portanto a equação está correta.

Resposta

3x-4y+6z-5=0

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