Determine o plano que contém a reta s=\left\{\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{1}\right\} e o ponto A=(1,1,1). resp.: 3 x-4 y+6 z-5=0
Passo 1
O enunciado pede: determinar o plano que contém a reta s=\left\{\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{1}\right\} e o ponto A=(1,1,1). Informações dadas e úteis:
Equação simétrica da reta s.
Ponto A com coordenadas A=(1,1,1).
Não vamos resolver ainda; apenas anotamos o que temos para usar nos passos seguintes.
Passo 2
Vamos transformar a equação simétrica da reta s em forma paramétrica para extrair um ponto da reta e o vetor diretor. Igualamos todas as frações a um parâmetro t:
\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{1}=t.
Daí obtemos as equações paramétricas da reta:
x=3+2t,\qquad y=1+3t,\qquad z=0+1t.
Escolhendo t=0 encontramos um ponto da reta:
P=(3,1,0).
O vetor diretor da reta (coeficientes de t) é
\vec{v}=(2,3,1).
Passo 3
Estratégia para encontrar o plano: um plano pode ser determinado por um ponto e um vetor normal \vec{n} perpendicular a ele. Se o plano contém a reta s então ele contém o vetor diretor \vec{v} e também contém o segmento que liga qualquer ponto da reta P ao ponto dado A. Assim, temos dois vetores no plano: \vec{v} e \overrightarrow{PA}. O produto vetorial desses dois vetores dará um vetor normal \vec{n} ao plano. Vou calcular \overrightarrow{PA} e depois o produto vetorial.
Podemos multiplicar por -1 para ficar com coeficientes positivos mais simpáticos:
\vec{n}=(3,-4,6).
Esse é um vetor normal ao plano procurado.]
Passo 6
Equação do plano com vetor normal \vec{n}=(3,-4,6) que passa pelo ponto A=(1,1,1): a forma ponto-normal é
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.
Escrevendo:
(3,-4,6)\cdot(x-1,\;y-1,\;z-1)=0.
Fazendo o produto escalar:
3(x-1)-4(y-1)+6(z-1)=0.
Distribuindo:
3x-3-4y+4+6z-6=0.
Somando os termos constantes:
3x-4y+6z-5=0.
Passo 7
Verificação rápida (controle): substituir P=(3,1,0) e A=(1,1,1) na equação para garantir que ambos pertencem ao plano.
Para A: 3\cdot1-4\cdot1+6\cdot1-5=3-4+6-5=0. OK.
Para P: 3\cdot3-4\cdot1+6\cdot0-5=9-4-5=0. OK.
Portanto a equação está correta.