2-(2,0) - Determine a equação do plano que:
Contém os pontos \mathrm{A}=(0,6,1), \mathrm{B}=(-1,4,1) e \mathrm{C}=(2,3,0).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação do plano que contém os pontos \mathrm{A}=(0,6,1), \mathrm{B}=(-1,4,1) e \mathrm{C}=(2,3,0).\n
Informações dadas (listadas claramente):\n
\mathrm{A}=(0,6,1)\n
\mathrm{B}=(-1,4,1)\n
\mathrm{C}=(2,3,0)\n
O que se pede: a equação cartesiana do plano que passa por esses três pontos (uma única equação do tipo \,ax+by+cz+d=0,).

Passo 2

Ideia geral (didática e simples): um plano no espaço pode ser descrito por um vetor normal \vec{n} perpendicular a ele e um ponto P_0 do plano. A equação vetorial é
\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0,
onde \vec{r}=(x,y,z) é o vetor posição genérico de um ponto qualquer do plano e \vec{r_0} é a posição de um ponto conhecido do plano (por exemplo \mathrm{A}).\n
Portanto precisamos de um vetor normal \vec{n}. Para obter \vec{n} usamos dois vetores diretores do plano (dois vetores não colineares contidos no plano) e aplicamos o produto vetorial (cross product). Esses vetores diretores podem ser obtidos subtraindo coordenadas dos pontos dados: por exemplo \vec{AB}=\vec{B}-\vec{A} e \vec{AC}=\vec{C}-\vec{A}.

Passo 3

Calcule os vetores \vec{AB} e \vec{AC}. Subtração coordenada a coordenada:
\vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}=(-1-0,\;4-6,\;1-1)=(-1,-2,0).
\vec{AC}=\vec{C}-\vec{A}=(2-0,\;3-6,\;0-1)=(2,-3,-1).
Aqui é essencial fazer cada diferença com calma: -1-0=-1, 4-6=-2, 1-1=0; e 2-0=2, 3-6=-3, 0-1=-1.

Passo 4

Agora o produto vetorial \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC} dá um vetor perpendicular ao plano gerado por \vec{AB} e \vec{AC}. Formalmente, usando a notação do determinante:
\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & -2 & 0 \\\\ 2 & -3 & -1 \end{vmatrix}.
Explicando: o produto vetorial dá um vetor cujas componentes são calculadas como determinantes menores — vou calcular componente a componente.

Passo 5

Cálculo das componentes de \vec{n} (fazendo devagar):\n
Primeira componente (coordenada x, ou componente na direção \mathbf{i}):
n_x = (-2)\cdot(-1) - 0\cdot(-3) = 2 - 0 = 2.
Segunda componente (coordenada y, cuidado com o sinal padrão do produto vetorial):
n_y = 0\cdot 2 - (-1)\cdot(-1) = 0 - 1 = -1.
Terceira componente (coordenada z):
n_z = (-1)\cdot(-3) - (-2)\cdot 2 = 3 - (-4) = 3+4 = 7.
Portanto
\vec{n}=(2,-1,7).
Comentário didático: se \vec{n} fosse o vetor nulo (0,0,0) isso indicaria que \vec{AB} e \vec{AC} são colineares (os pontos seriam colineares) e não haveria um plano único — mas aqui \vec{n}\neq\vec{0}, ótimo.

Passo 6

Agora uso a equação do plano com o vetor normal \vec{n}=(2,-1,7) e um ponto conhecido, por exemplo \mathrm{A}=(0,6,1).\n
A forma vetorial é
\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_A})=0,
onde \vec{r}=(x,y,z) e \vec{r_A}=(0,6,1). Escrevendo o produto escalar:
(2,-1,7)\cdot(x-0,\;y-6,\;z-1)=0.

Passo 7

Execute o produto escalar e simplifique passo a passo:
2(x-0) + (-1)(y-6) + 7(z-1)=0.
Desenvolvendo cada termo:
2x - (y-6) + 7z -7 = 0.
Cuidado com o sinal: -1\cdot(y-6) = -y +6. Portanto vamos reescrever corretamente e simplificar:
2x - y +6 +7z -7 = 0.
2x - y +7z -1 = 0.
Isolando do modo mais comum:
2x - y +7z = 1.

Passo 8

Verificação (sempre faça na prova para evitar erros bobos): substitua \mathrm{B}=(-1,4,1) e \mathrm{C}=(2,3,0) na equação \,2x-y+7z=1,.\n
Para \mathrm{B}: 2(-1) - 4 + 7\cdot 1 = -2 -4 +7 = 1. OK.\n
Para \mathrm{C}: 2\cdot 2 - 3 + 7\cdot 0 = 4 -3 + 0 = 1. OK.\n
Ambos satisfazem a equação, então está correta. Dá um suspiro de alívio — curtiu? Tá certinho.

Resposta

2x - y + 7z = 1

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