(vale 1) Mostrar que os pontos \mathrm{A}(-1,4,2), \mathrm{B}(3,0,1), \mathrm{C}(0,4,3), \mathrm{D}(-4,8,4) são vértices de um paralelogramo.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço e pede para mostrar que eles são vértices de um paralelogramo. As informações dadas são: \mathrm{A}(-1,4,2), \mathrm{B}(3,0,1), \mathrm{C}(0,4,3) e \mathrm{D}(-4,8,4). A pergunta é: esses quatro pontos são vértices de um paralelogramo?

Passo 2

Primeiro precisamos entender como trabalhar com pontos e vetores em coordenadas. Se temos dois pontos \mathrm{P}(x_P,y_P,z_P) e \mathrm{Q}(x_Q,y_Q,z_Q), o vetor que vai de \mathrm{P} para \mathrm{Q} é dado por
\overrightarrow{PQ} = (x_Q-x_P,\;y_Q-y_P,\;z_Q-z_P).
Isso significa que subtraímos coordenada a coordenada. Vou usar essa regra para comparar lados opostos do quadrilátero formado por \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AB}. Usando as coordenadas dadas (peguei os valores do enunciado):
\overrightarrow{AB} = (3-(-1),\;0-4,\;1-2).
Fazendo as subtrações coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB} = (4,\,-4,\,-1).

Passo 4

Calcular o vetor \overrightarrow{DC}. Note que \overrightarrow{DC} é o vetor que vai de \mathrm{D} para \mathrm{C}, ou seja \overrightarrow{DC} = \mathrm{C}-\mathrm{D}. Usando as coordenadas do enunciado:
\overrightarrow{DC} = (0-(-4),\;4-8,\;3-4).
Fazendo as subtrações:
\overrightarrow{DC} = (4,\,-4,\,-1).

Passo 5

Comparando os vetores calculados: temos
\overrightarrow{AB} = (4,\,-4,\,-1)\quad\text{e}\quad \overrightarrow{DC} = (4,\,-4,\,-1).
Ou seja, \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}. Geometricamente, isso significa que o segmento \overline{AB} é paralelo e congruente (mesmo comprimento e mesma direção) ao segmento \overline{DC}. Em um quadrilátero, se um par de lados opostos são iguais e paralelos, já temos um paralelogramo. Vou, por fim, verificar também o outro par de lados para ficar completo.

Passo 6

Calcular o vetor \overrightarrow{BC}:
\overrightarrow{BC} = (0-3,\;4-0,\;3-1) = (-3,\;4,\;2).

Passo 7

Calcular o vetor \overrightarrow{AD}:
\overrightarrow{AD} = (-4-(-1),\;8-4,\;4-2) = (-3,\;4,\;2).

Passo 8

Comparando:
\overrightarrow{BC} = (-3,\;4,\;2)\quad\text{e}\quad \overrightarrow{AD} = (-3,\;4,\;2),
logo \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}. Assim, ambos os pares de lados opostos do quadrilátero têm vetores iguais (são paralelos e de mesma medida).

Passo 9

Conclusão: como \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} e \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}, os lados opostos são pares de vetores iguais. Isso caracteriza exatamente um paralelogramo. Portanto os pontos dados são vértices de um paralelogramo.

Resposta

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(4,-4,-1) e \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(-3,4,2). Logo, os pontos são vértices de um paralelogramo.

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