2-(2,0) - Determine a equação do plano que:
Contém as retas \mathrm{S}:\left\{\begin{array}{l}y=2 x-3 \\\ z=-x+2\end{array}\right. e \mathrm{R}:\left\{\begin{array}{c}y=-1 \\\ \frac{x-1}{3}=\frac{z-1}{-1}\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede: Determine a equação do plano que contém as retas \mathrm{S} e \mathrm{R}.
Informações dadas:
\mathrm{S}:\begin{cases} y=2x-3\\[4pt] z=-x+2 \end{cases} \qquad\text{e}\qquad \mathrm{R}:\begin{cases} y=-1\\[4pt] \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{z-1}{-1} \end{cases}
Esses são os dados: as duas equações das retas. O objetivo é escrever a equação do plano que contém ambas.]

Passo 2

Transformar a reta \mathrm{S} para forma paramétrica (isso facilita obter um vetor diretor e um ponto da reta).
Escolho parâmetro t para \mathrm{S}. Tomando x=t, obtemos
y=2t-3,\qquad z=-t+2.
Assim a forma paramétrica é
\mathrm{S}:\\ (x,y,z)=(t,\,2t-3,\, -t+2).
Dessa forma, um ponto de \mathrm{S} (quando t=0) é
P_0=(0,\,-3,\,2),
e o vetor diretor de \mathrm{S} é
\vec v_S=(1,\,2,\,-1).
Explicação rápida (para a prova): tomar uma variável livre para x é habitual; a letra que usamos ( t) é só um rótulo. O vetor diretor é dado pelos coeficientes que multiplicam o parâmetro.

Passo 3

Transformar a reta \mathrm{R} para forma paramétrica.
Na reta \mathrm{R} temos y=-1 e \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{z-1}{-1}. Igualo essa razão a um parâmetro u:
\dfrac{x-1}{3}=u\quad\Rightarrow\quad x=1+3u,
\dfrac{z-1}{-1}=u\quad\Rightarrow\quad z=1-u,
e y=-1 (constante). Portanto a forma paramétrica é
\mathrm{R}:\\ (x,y,z)=(1+3u,\,-1,\,1-u).
Um ponto de \mathrm{R} (quando u=0) é
Q_0=(1,\,-1,\,1),
e o vetor diretor de \mathrm{R} é
\vec v_R=(3,\,0,\,-1).
Comentário didático: escolher u=0 nos dá um ponto fácil. O vetor diretor vem dos coeficientes de u.

Passo 4

Verificar se as retas se intersectam (se intersectam, a interseção será um ponto do plano; se forem paralelas distintas não há plano único, mas aqui vamos checar).
Procuramos t\) e \(u\) tais que \[(t,\,2t-3,\, -t+2) = (1+3u,\,-1,\,1-u).
Isso gera o sistema
\begin{cases} t = 1+3u,\\[4pt] 2t-3 = -1,\\[4pt] -t+2 = 1-u. \end{cases}
Resolvendo a segunda equação:
2t-3=-1\\ \Rightarrow\\\ 2t=2\\ \Rightarrow\\ t=1.
Substituindo t=1\] na primeira: \[1 = 1+3u \\ \Rightarrow\\\ 3u=0 \\ \Rightarrow\\ u=0.\] Verificando a terceira com \(t=1,u=0:
-t+2 = -1+2 =1,\qquad 1-u = 1-0 =1,
a igualdade vale. Logo as retas se intersectam no ponto correspondente a t=1 (ou u=0), que é
P=(1,\,-1,\,1).
Didática curta: duas retas que se cruzam (não paralelas) determinam um único plano. Encontramos o ponto de interseção porque ele nos serve como ponto do plano.]

Passo 5

Obter um vetor normal ao plano. Se a reta \mathrm{S} tem vetor diretor \vec v_S e \mathrm{R} tem vetor diretor \vec v_R, um vetor normal \vec n ao plano pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product)
\vec n = \vec v_S \times \vec v_R.
Breve aula sobre produto vetorial: para \vec a=(a_1,a_2,a_3) e \vec b=(b_1,b_2,b_3),
\vec a\times\vec b = (a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1).
Esse vetor é perpendicular a \vec a e a \vec b, ideal para ser normal ao plano gerado por esses dois vetores.
Aplicando aos nossos vetores \vec v_S=(1,2,-1) e \vec v_R=(3,0,-1):
Calculemos componente a componente:
\begin{aligned} n_1 &= (2)(-1)-(-1)(0) = -2 - 0 = -2,\\[4pt] n_2 &= (-1)(3)-(1)(-1) = -3 - (-1) = -3 +1 = -2,\\[4pt] n_3 &= (1)(0)-(2)(3) = 0 -6 = -6. \end{aligned}
Portanto
\vec n = (-2,\,-2,\,-6).
Podemos multiplicar por -\tfrac{1}{2} para simplificar (qualquer múltiplo não nulo serve como normal), obtendo
\vec n = (1,\,1,\,3).
Explicação: simplificamos para coefficients inteiros menores, o que facilita a equação do plano.]

Passo 6

Usar a forma ponto-normal do plano: se \vec n=(A,B,C) é normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Aqui \vec n=(1,1,3) e podemos usar o ponto de interseção P=(1,-1,1). Substituindo:
1\cdot(x-1)+1\cdot(y+1)+3\cdot(z-1)=0.
Desenvolvendo:
x-1 + y+1 + 3z-3 = 0.
Somando os termos constantes -1+1-3=-3, fica
x + y + 3z -3 = 0.
Finalmente escrevemos na forma usual:
x + y + 3z = 3.

Resposta

x+y+3z=3

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