2-(2,0) - Determine a equação do plano que:
Contém as retas \mathrm{S}:\left\{\begin{array}{l}y=2 x-3 \\\ z=-x+2\end{array}\right. e \mathrm{R}:\left\{\begin{array}{c}y=-1 \\\ \frac{x-1}{3}=\frac{z-1}{-1}\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado pede: Determine a equação do plano que contém as retas \mathrm{S} e \mathrm{R}.
Esses são os dados: as duas equações das retas. O objetivo é escrever a equação do plano que contém ambas.]
Passo 2
Transformar a reta \mathrm{S} para forma paramétrica (isso facilita obter um vetor diretor e um ponto da reta).
Escolho parâmetro t para \mathrm{S}. Tomando x=t, obtemos
y=2t-3,\qquad z=-t+2.
Assim a forma paramétrica é
\mathrm{S}:\\ (x,y,z)=(t,\,2t-3,\, -t+2).
Dessa forma, um ponto de \mathrm{S} (quando t=0) é
P_0=(0,\,-3,\,2),
e o vetor diretor de \mathrm{S} é
\vec v_S=(1,\,2,\,-1).
Explicação rápida (para a prova): tomar uma variável livre para x é habitual; a letra que usamos (t) é só um rótulo. O vetor diretor é dado pelos coeficientes que multiplicam o parâmetro.
Passo 3
Transformar a reta \mathrm{R} para forma paramétrica.
Na reta \mathrm{R} temos y=-1 e \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{z-1}{-1}. Igualo essa razão a um parâmetro u:
\dfrac{x-1}{3}=u\quad\Rightarrow\quad x=1+3u,
\dfrac{z-1}{-1}=u\quad\Rightarrow\quad z=1-u,
e y=-1 (constante). Portanto a forma paramétrica é
\mathrm{R}:\\ (x,y,z)=(1+3u,\,-1,\,1-u).
Um ponto de \mathrm{R} (quando u=0) é
Q_0=(1,\,-1,\,1),
e o vetor diretor de \mathrm{R} é
\vec v_R=(3,\,0,\,-1).
Comentário didático: escolher u=0 nos dá um ponto fácil. O vetor diretor vem dos coeficientes de u.
Passo 4
Verificar se as retas se intersectam (se intersectam, a interseção será um ponto do plano; se forem paralelas distintas não há plano único, mas aqui vamos checar).
Procuramos t\) e \(u\) tais que
\[(t,\,2t-3,\, -t+2) = (1+3u,\,-1,\,1-u).
Substituindo t=1\] na primeira:
\[1 = 1+3u \\ \Rightarrow\\\ 3u=0 \\ \Rightarrow\\ u=0.\]
Verificando a terceira com \(t=1,u=0:
-t+2 = -1+2 =1,\qquad 1-u = 1-0 =1,
a igualdade vale. Logo as retas se intersectam no ponto correspondente a t=1 (ou u=0), que é
P=(1,\,-1,\,1).
Didática curta: duas retas que se cruzam (não paralelas) determinam um único plano. Encontramos o ponto de interseção porque ele nos serve como ponto do plano.]
Passo 5
Obter um vetor normal ao plano. Se a reta \mathrm{S} tem vetor diretor \vec v_S e \mathrm{R} tem vetor diretor \vec v_R, um vetor normal \vec n ao plano pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product)
\vec n = \vec v_S \times \vec v_R.
Breve aula sobre produto vetorial: para \vec a=(a_1,a_2,a_3) e \vec b=(b_1,b_2,b_3),
\vec a\times\vec b = (a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1).
Esse vetor é perpendicular a \vec a e a \vec b, ideal para ser normal ao plano gerado por esses dois vetores.
Aplicando aos nossos vetores \vec v_S=(1,2,-1) e \vec v_R=(3,0,-1):