204. Se A=\left[ \begin{array}{ll} 1 & 7 \\ 2 & 6 \end{array}\right], B=\left[ \begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array}\right] e C=\left[ \begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right] .
]
determine X em cada uma das equaçōes abaixo:
\frac{1}{2}(X-A-B)=\frac{1}{3}(X-C)

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{bmatrix}1 & 7 \\[4pt] 2 & 6\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & 3\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}0 & 2 \\[4pt] 2 & 0\end{bmatrix}
e pede para determinar a matriz X que satisfaz a equação
\frac{1}{2}\bigl(X-A-B\bigr)=\frac{1}{3}\bigl(X-C\bigr).]

Passo 2

Vamos eliminar as frações para trabalhar com entradas inteiras. Multiplicando ambos os lados da equação por 6 (mínimo múltiplo comum de 2 e 3) obtemos uma igualdade equivalente:
6\cdot\frac{1}{2}\bigl(X-A-B\bigr)=6\cdot\frac{1}{3}\bigl(X-C\bigr).

Passo 3

Calcule os produtos escalares: 6\cdot\frac{1}{2}=3 e 6\cdot\frac{1}{3}=2. Assim:
3\bigl(X-A-B\bigr)=2\bigl(X-C\bigr).
Aqui usei a propriedade de que a multiplicação por escalar distribui sobre a soma/diferença de matrizes (operações feitas entrada a entrada).

Passo 4

Agora distribuo o escalar dentro dos parênteses (propriedade distributiva):
3X-3A-3B=2X-2C.
Isto é igual a fazer a multiplicação escalar em cada matriz e manter as somas/subtrações.

Passo 5

Isolo X agrupando os termos com X de um lado. Subtraindo 2X de ambos os lados:
3X-2X=3A+3B-2C.
Aqui usei que, para matrizes, as operações de adição/subtração obedecem as mesmas regras algébricas dos números.

Passo 6

Simplificando o lado esquerdo obtemos:
X=3A+3B-2C.
Portanto precisamos calcular a combinação linear 3A+3B-2C. Primeiro calculo 3A, 3B e -2C multiplicando cada entrada pelo escalar.

Passo 7

Calcule 3A:
3A=3\begin{bmatrix}1 & 7 \\[4pt] 2 & 6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3\cdot1 & 3\cdot7 \\[4pt] 3\cdot2 & 3\cdot6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3 & 21 \\[4pt] 6 & 18\end{bmatrix}.]

Passo 8

Calcule 3B:
3B=3\begin{bmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & 3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6 & 3 \\[4pt] 12 & 9\end{bmatrix}.]

Passo 9

Calcule -2C:
-2C=-2\begin{bmatrix}0 & 2 \\[4pt] 2 & 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & -4 \\[4pt] -4 & 0\end{bmatrix}.]

Passo 10

Some 3A e 3B entrada a entrada:
3A+3B=\begin{bmatrix}3 & 21 \\[4pt] 6 & 18\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}6 & 3 \\[4pt] 12 & 9\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3+6 & 21+3 \\[4pt] 6+12 & 18+9\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}9 & 24 \\[4pt] 18 & 27\end{bmatrix}.]

Passo 11

Agora some o resultado com -2C:
3A+3B-2C=\begin{bmatrix}9 & 24 \\[4pt] 18 & 27\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0 & -4 \\[4pt] -4 & 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}9+0 & 24-4 \\[4pt] 18-4 & 27+0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}9 & 20 \\[4pt] 14 & 27\end{bmatrix}.]

Passo 12

Concluímos que a matriz X é
X=\begin{bmatrix}9 & 20 \\[4pt] 14 & 27\end{bmatrix}.]

Resposta

\begin{bmatrix}9 & 20 \\[4pt] 14 & 27\end{bmatrix}]

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