Determine a equação do plano que passa pelo ponto A(1,2,1) e é paralelo ao plano XOZ.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelo ponto A(1,2,1) e que é paralelo ao plano XOZ.
Informações dadas: o ponto A tem coordenadas (1,2,1). O plano de referência é o plano XOZ.

Passo 2

Entender o que é o plano XOZ: esse plano é formado por todos os pontos cujo coordenada y vale zero, porque nele só aparecem as direções dos eixos x e z. Portanto qualquer ponto do plano XOZ tem a forma (x,0,z). Em linguagem matemática:
\text{o plano }XOZ=\{(x,y,z)\mid y=0\}.

Passo 3

Explicar o conceito útil: vetor normal de um plano. O vetor normal é um vetor perpendicular ao plano; ele aparece na equação do plano na forma
a x + b y + c z + d = 0,
onde (a,b,c) é um vetor normal. Para o plano XOZ, como ele é perpendicular ao eixo y, um vetor normal apropriado é (0,1,0) (aponta na direção do eixo y). Ou seja, o plano XOZ tem equação (proporcionalmente) 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z + d = 0, que, com d=0, dá y=0.

Passo 4

Condição de paralelismo entre planos: dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são proporcionais (ou iguais). Como o plano pedido é paralelo a XOZ, seu vetor normal também deve ser proporcional a (0,1,0). Assim o vetor normal do plano buscado pode ser escolhido como (0,1,0).

Passo 5

Escrever a equação geral do plano com esse vetor normal (0,1,0). Substituindo em a x + b y + c z + d = 0 obtemos
0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z + d = 0,
ou seja
y + d = 0.
Aqui d é uma constante a determinar usando que o plano passa pelo ponto A.

Passo 6

Impor a condição de que o ponto A(1,2,1) pertence ao plano. Substituímos as coordenadas de A na equação \,y + d = 0\,:
2 + d = 0.
Daí segue que
d = -2.

Passo 7

Substituir d=-2 na equação do plano obtida no Passo 5. Temos
y - 2 = 0,
que também pode ser escrita como
y=2.
Essa é a equação do plano procurado: é um plano paralelo a XOZ (mesma direção) deslocado na direção y até y=2.

Resposta

y=2

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