Determine a equação do plano que passa pelo ponto
e é paralelo ao plano XOZ.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano que passa pelo ponto
e que é paralelo ao plano
.
Informações dadas: o ponto tem coordenadas
. O plano de referência é o plano
.
Informações dadas: o ponto
Passo 2
Entender o que é o plano
: esse plano é formado por todos os pontos cujo coordenada
vale zero, porque nele só aparecem as direções dos eixos
e
. Portanto qualquer ponto do plano
tem a forma
. Em linguagem matemática:
Passo 3
Explicar o conceito útil: vetor normal de um plano. O vetor normal é um vetor perpendicular ao plano; ele aparece na equação do plano na forma
onde
é um vetor normal. Para o plano
, como ele é perpendicular ao eixo
, um vetor normal apropriado é
(aponta na direção do eixo
). Ou seja, o plano
tem equação (proporcionalmente)
, que, com
, dá
.
Passo 4
Condição de paralelismo entre planos: dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são proporcionais (ou iguais). Como o plano pedido é paralelo a
, seu vetor normal também deve ser proporcional a
. Assim o vetor normal do plano buscado pode ser escolhido como
.
Passo 5
Escrever a equação geral do plano com esse vetor normal
. Substituindo em
obtemos
ou seja
Aqui
é uma constante a determinar usando que o plano passa pelo ponto
.
Passo 6
Impor a condição de que o ponto
pertence ao plano. Substituímos as coordenadas de
na equação
:
Daí segue que
Passo 7
Substituir
na equação do plano obtida no Passo 5. Temos
que também pode ser escrita como
Essa é a equação do plano procurado: é um plano paralelo a
(mesma direção) deslocado na direção
até
.