Considere a area entre as curvas
e o eixo
. Calcule, de duas maneiras distintas e utilizando integral, o volume do sólido obtido pela rotação da região acima em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido de revolução obtido ao girar, em torno do eixo y, a região entre as curvas
,
e o eixo
. O conteúdo envolvido é cálculo de volumes por integração, usando o método das cascas cilíndricas (integral em
) e o método dos discos/aros (integral em
).
Passo 2
Pelo método das cascas cilíndricas, a fórmula geral é:
onde
Passo 3
Calculando essa integral:
Passo 4
Pelo método dos discos (fatias perpendiculares ao eixo y), o volume é
Para cada
, as soluções são
(da reta) e
(da parábola). Elas se cruzam em
, então:
- Para
, vale . - Para
, vale .
Assim
Passo 5
Agora as integrais de discos:
Confirma-se que os dois métodos dão o mesmo valor para o volume.