Considere a area entre as curvas y=2 x, y=3-x^2 e o eixo y. Calcule, de duas maneiras distintas e utilizando integral, o volume do sólido obtido pela rotação da região acima em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido de revolução obtido ao girar, em torno do eixo y, a região entre as curvas y=2x, y=3-x^2 e o eixo y. O conteúdo envolvido é cálculo de volumes por integração, usando o método das cascas cilíndricas (integral em x) e o método dos discos/aros (integral em y).

Passo 2

Pelo método das cascas cilíndricas, a fórmula geral é:
V = 2pi integrala^b xl(f(x)-g(x)r),dx,
onde f(x)=3-x^2 (curva superior) e g(x)=2x (curva inferior). As interseções são dadas por 2x=3-x^2, que resulta em x=1 (além de x=-3, mas ignoramos pois x>=0). Então
V = 2pi integral0^1 xl((3-x^2)-2xr),dx

Passo 3

Calculando essa integral:
2pi integral0^1 (3x - 2x^2 - x^3),dx =2pi l[tfrac32x^2 - tfrac23x^3 - tfrac14x^4r]0^1 =2pi l(tfrac32-tfrac23-tfrac14r) =2pi cdot tfrac712 =tfrac7pi6

Passo 4

Pelo método dos discos (fatias perpendiculares ao eixo y), o volume é
V = pi integralymin^ymax [xmax(y)]^2 ,dy
Para cada y, as soluções são x=y/2 (da reta) e x=raiz3-y (da parábola). Elas se cruzam em y=2, então:
  • Para 0<= y<=2, vale xmax=y/2.
  • Para 2<= y<=3, vale xmax=raiz3-y.
    Assim
V = piintegral0^2l(tfracy2r)^2 dy + piintegral2^3(raiz3-y)^2 dy

Passo 5

Agora as integrais de discos:
pil[integral0^2 tfracy^24 ,dy + integral2^3 (3-y) ,dyr] = pil[tfrac23 + tfrac12r] = picdot tfrac76 = tfrac7pi6
Confirma-se que os dois métodos dão o mesmo valor para o volume.

Resposta

dfrac7pi6

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