Determine a representação da função por um integral de Fourier:
f(x)=c0, x<0 x, 03

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente representar a função usando uma integral de Fourier. Estamos trabalhando com a transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para analisar funções no domínio da frequência. Para resolver isso, precisamos entender como montar a integral de Fourier para uma função que é definida de forma diferente em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a definição da transformada de Fourier para uma função F(omega) = integral-infty^infty f(x) e^-i omega x dx :
f(x) = 0, & x < 0 x, & 0 < x < 3 0, & x > 3
No nosso caso, a função é dada por:
Isso significa que a função é zero fora do intervalo de 0 a 3 e igual a dentro desse intervalo.

Passo 3

Como a função F(omega) = integral0^3 x e^-i omega x dx é zero para e , podemos simplificar a integral da transformada de Fourier para o intervalo onde a função não é zero:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^-i omega x dx Rightarrow v = e^-i omega x-i omega
Aplicando a integração por partes:
F(omega) = [ x cdot e^-i omega x-i omega ]0^3 - integral0^3 e^-i omega x-i omega dx
Calculando o primeiro termo:
[ x cdot e^-i omega x-i omega ]0^3 = 3 e^-i omega 3-i omega - 0 = 3 e^-i omega 3-i omega
Agora, resolvendo a segunda integral:
integral0^3 e^-i omega x-i omega dx = 1-i omega cdot [ e^-i omega x-i omega ]0^3 = 1-i omega cdot ( e^-i omega 3 - 1-i omega ) = e^-i omega 3 - 1omega^2
Substituindo de volta na expressão de F(omega) = 3 e^-i omega 3-i omega + e^-i omega 3 - 1omega^2 :

Resposta

A representação da função f(x) = integral-infty^infty ( 3 e^-i omega 3-i omega + e^-i omega 3 - 1omega^2 ) e^i omega x domega por uma integral de Fourier é:

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