Determine a representação da função por um integral de Fourier:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente representar a função usando uma integral de Fourier. Estamos trabalhando com a transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para analisar funções no domínio da frequência. Para resolver isso, precisamos entender como montar a integral de Fourier para uma função que é definida de forma diferente em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a definição da transformada de Fourier para uma função F(omega) = integral-infty^infty f(x) e^-i omega x dx :
f(x) = 0, & x < 0 x, & 0 < x < 3 0, & x > 3
No nosso caso, a função é dada por:
Isso significa que a função é zero fora do intervalo de 0 a 3 e igual a dentro desse intervalo.
Passo 3
Como a função F(omega) = integral0^3 x e^-i omega x dx é zero para e , podemos simplificar a integral da transformada de Fourier para o intervalo onde a função não é zero:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^-i omega x dx Rightarrow v = e^-i omega x-i omega
Substituindo de volta na expressão de F(omega) = 3 e^-i omega 3-i omega + e^-i omega 3 - 1omega^2 :
Resposta
A representação da função f(x) = integral-infty^infty ( 3 e^-i omega 3-i omega + e^-i omega 3 - 1omega^2 ) e^i omega x domega por uma integral de Fourier é: