Determine uma equação do plano que passa pelos pontos
e
e é tangente ao gráfico de
.
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos
e
e que também é tangente ao gráfico da função
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de planos e condições de tangência entre superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação geral de um plano que passa pelos dois pontos dados. A equação de um plano pode ser escrita como:
onde
,
e
são constantes que precisamos determinar. Sabemos que o plano passa pelos pontos
e
, então podemos substituir esses valores na equação para obter duas equações:
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos resolver essas duas equações para encontrar
,
e
. Podemos subtrair a Equação 2 da Equação 1:
Com
, voltamos para a Equação 2:
E como não temos mais informações aqui, vamos guardar esse resultado para usar mais tarde.
Passo 4
Agora, precisamos que o plano seja tangente ao gráfico de
. Para que isso aconteça, deve existir um ponto
no gráfico onde as duas superfícies têm o mesmo plano tangente. A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é dada por:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo no ponto
:
Comparando com a equação geral do plano
, temos:
Passo 5
Agora, lembrando que já encontramos
na Passo 3, podemos igualar:
Com
, vamos encontrar
,
e
:
Agora, lembrando da Equação 2 que tínhamos:
Então, substituindo
de volta:
Passo 6
Agora que temos todos os valores, podemos escrever a equação do plano:
Resposta
A equação do plano é
, ou seja, a alternativa B).