Determine uma equação do plano que passa pelos pontos (1,2,4) e (0,2,3) e é tangente ao gráfico de f(x, y)=x y^3.
A) z=x+2 y-1
B) z=x+3 y-3
C) z=x+y+1
D) z=x-y+5
E) z=x-2 y+7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos (1,2,4) e (0,2,3) e que também é tangente ao gráfico da função f(x, y) = x y^3. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de planos e condições de tangência entre superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação geral de um plano que passa pelos dois pontos dados. A equação de um plano pode ser escrita como:
z = A x + B y + C
onde A, B e C são constantes que precisamos determinar. Sabemos que o plano passa pelos pontos (1,2,4) e (0,2,3), então podemos substituir esses valores na equação para obter duas equações:
Para (1,2,4):
4 = A cdot 1 + B cdot 2 + C Rightarrow A + 2B + C = 4 (Equação 1) çã
Para (0,2,3):
3 = A cdot 0 + B cdot 2 + C Rightarrow 2B + C = 3 (Equação 2) çã

Passo 3

Agora, vamos resolver essas duas equações para encontrar A, B e C. Podemos subtrair a Equação 2 da Equação 1:
(A + 2B + C) - (2B + C) = 4 - 3 Rightarrow A = 1
Com A = 1, voltamos para a Equação 2:
2B + C = 3 (Equação 2) çã
E como não temos mais informações aqui, vamos guardar esse resultado para usar mais tarde.

Passo 4

Agora, precisamos que o plano seja tangente ao gráfico de f(x, y) = x y^3. Para que isso aconteça, deve existir um ponto (a, b, f(a,b)) no gráfico onde as duas superfícies têm o mesmo plano tangente. A equação do plano tangente à superfície z = x y^3 no ponto (a, b, a b^3) é dada por:
z = partial fpartial x(a,b) cdot (x - a) + partial fpartial y(a,b) cdot (y - b) + f(a,b)
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x = y^3
partial fpartial y = 3x y^2
Substituindo no ponto (a, b):
z = b^3 (x - a) + 3a b^2 (y - b) + a b^3
z = b^3 x - a b^3 + 3a b^2 y - 3a b^3 + a b^3
z = b^3 x + 3a b^2 y - 3a b^3
Comparando com a equação geral do plano z = A x + B y + C, temos:
A = b^3
B = 3a b^2
C = -3a b^3

Passo 5

Agora, lembrando que já encontramos A = 1 na Passo 3, podemos igualar:
b^3 = 1 Rightarrow b = 1
Com b = 1, vamos encontrar A, B e C:
A = 1^3 = 1
B = 3a (1)^2 = 3a
C = -3a (1)^3 = -3a
Agora, lembrando da Equação 2 que tínhamos:
2B + C = 3
2(3a) + (-3a) = 3
6a - 3a = 3 Rightarrow 3a = 3 Rightarrow a = 1
Então, substituindo a = 1 de volta:
B = 3(1) = 3
C = -3(1) = -3

Passo 6

Agora que temos todos os valores, podemos escrever a equação do plano:
z = 1 cdot x + 3 cdot y - 3
z = x + 3y - 3

Resposta

A equação do plano é z = x + 3 y - 3, ou seja, a alternativa B).

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